2017-10-20 06:16:18

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微积分|函数
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原函数(primitive function)是指已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数,如果存在可导函数F(x),使得在该区间内的任一点都存在dF(x)=f(x)dx。

则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。

基本信息

  • 中文名

    原函数

  • 外文名

    primitive function

  • sinx是cosx的原函数

  • 应用学科

    数学、计算机科学等

  • 适用领域范围

    数学、金融、IT

折叠 编辑本段 原函数的定义

已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数,如果存在可导函数F(x),使得在该区间内的任一点都有

若F'(x)=f(x),dF(x)=f(x)dx,则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。

例:sinx是cosx的原函数。

折叠 编辑本段 原函数存在定理

若函数f(x)在某区间上连续,则f(x)在该区间内必存在原函数,这是一个充分而不必要条件,也称为"原函数存在定理"。

函数族F(x)+C(C为任一个常数)中的任一个函数一定是f(x)的原函数,

故若函数f(x)有原函数,那么其原函数为无穷多个.

例如,x是3x的一个原函数,易知,x+1和x+2也都是3x的原函数。因此,一个函数如果有一个原函数,就有许许多多原函数,原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。

例如:已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v=v(t),要求它的运动规律 ,就是求v=v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题,当f(x)为连续函数时,其原函数一定存在。

折叠 编辑本段 几何意义和力学意义

设f(x)在[a,b]上连续,则由 曲线y=f(x),x轴及直线x=a,x=b围成的曲边梯形的面积函数(指代数和--x轴上方取正号,下方取负号)是f(x)的一个原函数.若x为时间变量,f(x)为直线运动的物体的速度函数,则f(x)的原函数就是路程函数。

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