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布拉施克(Blaschke ,Wilhelm Johann Eugen),德国数学家。 代表作《微分几何讲义》。

基本信息

  • 中文名

    布拉施克

  • 外文名

    Blaschke ,Wilhelm Johann Eugen

  • 别名

    Wilhelm Johann Eugen

  • 国籍

    德国

  • 出生地

    奥地利的格拉茨市

  • 出生日期

    1885年9月13日

  • 逝世日期

    1962年3月17日

  • 职业

    数学家

  • 代表作品

    《微分几何讲义》

  • 性别

布拉施克的生平

布拉施克于1885年出生在奥地利的格拉茨市。他的早期数学训练受自于其作 为中学几何教师的父亲。此后,他求教于许多著名的几何学家,包括维尔丁格(W. Wirtinger)、施图迪(E.Study)、比安基(L.Bianchi)、恩格尔(F.Engel)、希尔伯 特(D.Hilbert)和克莱因(F.Klein)。1919年,他被任命为新建的汉堡大学的教授, 并终身留在那里任职。在他的同事中有冯¢诺依曼(vonNeumann)、西格尔(C. L.Siegel)、阿廷(E.Artin)、奥斯特洛斯基(A.M.Ostrowski)、拉德马赫(H.A. Rademacher)、拉东(J.K.A.radon)、赫克(E.Hecke)、哈塞(H.Hasse)、科拉茨

(Kollatz)、尼尔森(Nielsen)、施赖埃尔(O.Schreier)和施佩纳(E.Sperner)。他 的最著名学生是桑塔洛(LuisSantal¶o)和陈省身。 布拉施克的数学工作 布拉施克最著名的工作是在凸几何、仿射微分几何和积分几何领域。 ²在凸几何学中,布拉施克建立了关于凸体序列的一个紧性定理,现在被称为 \布拉施克选择定理",并用其证明了一个新的严格的凸几何不等式。它表明了任 何一个包含在一个有界集中的凸集序列必有一个子列,其关于豪斯多夫度量而言 是收敛的。这个结果一直是建立凸体所满足的严格等周型不等式的有用工具。 布拉施克也阐述了所谓的布拉施克{桑塔洛不等式,这是关于凸体的一个 基本的仿射几何不等式。它与概率论和泛函分析,也与数论、偏微分方程和微分几 何有着深刻的联系。对布拉施克{桑塔洛不等式推广的研究至今仍很活跃。这个不 等式表明,给定了一个质心在原点的凸体K½Rn,并记其极体为K¤,则其体积满 足不等式V(K)V(K¤)6V(B)2,这里B是标准的欧氏球体,且等号成立的充要 条件是K为椭球体。布拉施克对n63建立了这个不等式,桑塔洛将其推广 28MH2010/11/22{15:16 28j陈省身与几何学的发展 到所有维数。 凸几何学中最重要的长期未解决问题之一是马勒猜想(Mahlerconjecture), 它声称存在着一个逆向的严格不等式,并且等号成立的充要条件是凸体为单

形。这个猜想仅在附加假设的情况下得到了证明,对此猜想的研究仍很活跃。

²积分几何学的工作至少可追溯到克罗夫顿(M.W.Crofton),他证明了与平 面中一条曲线弧相交的直线集合的不变测度是和弧长成正比例的。然而,布拉施 克是第一个将积分几何视为与微分几何同等重要的数学家。他带头打造该学科的 基础,他的学生陈省身和桑塔洛则继续他的工作。 特别地,布拉施克开创了运动学公式的系统研究。运动学公式可如下表述为: 设G1和G2是Rn中的几何对象(如线性子空间、子流形或子区域)。它们中的每 一个都自然地带有相应的几何不变量,如欧拉(Euler)示性数、体积和边界的体积 等。另一方面,G2的积分不变量可定义为G1的刚性运动与G2的交集的几何不 变量关于所有的刚体运动的平均。运动学公式表明,后者乃是前者的线性组合。 布拉施克的工作集中于欧氏空间,但是运动学公式可推广到由变换群所定义 的其他几何结构中。许多此类的推广工作已由陈省身、桑塔洛和其他人完成。例 如,可参见桑塔洛的书。陈省身则在诸如文献[5,6]的工作中,表明了如何把 运动学公式推广到齐性空间。 ²布拉施克也按照克莱因的埃朗根纲领,开创了仿射微分几何学的研究。在其关于微分几何学的系列专著的第二卷中,他对于Rn中的子流形,系统导出了 局部微分几何不变量,它们在仿射变换下不变,或者具有良好的表现。他最著名的 工作是引进了Rn(n>3)中超曲面的仿射法线的概念。仿射法线是欧氏微分几何 中高斯映射的仿射类似,它可用来定义仿射球面的概念,也可用来描述蒙日{安培 (Monge-Ampµere)型偏微分方程的解。关于仿射球面的概述可参看洛夫廷(Loftin) 和洛夫廷{王{杨(Loftin-Wang-Yang)。 ²布拉施克对黎曼几何的主要贡献是其解释性的著作,并对今后的数学家提 出应该去研究的问题。其最著名的例子是\布拉施克猜想"。 布拉施克引进了\再见曲面"(Wiedersehensurface)的概念:一个闭的二维 黎曼流形M被称为是\再见的"(Wiedersehen),如果存在d>0,使得对于每点 p2M,存在着另一点q2M,使得每一条从p出发的测地线经过距离d后必能到 达q点。布拉施克于1921年在文献中猜想,任何再见曲面必为具有常曲率的 黎曼度量的2-球面。陈省身在文献中描述了这个猜想的早期历史。这个猜想 被格林(Green)所证明。 再见曲面"的定义可以毋须改变而推广到高维的\再见流形"。布拉施克猜 想在高维时是否成立的问题,直到前不久才获解决。在以贝斯(A.L.Besse)为 作者名(伯杰||MarcelBerger||的一个假名)的著作的附录D中,伯杰 威廉¢布拉施克的数学工作及其对陈省身的影响29 利用了卡兹当(J.L.Kazdan)的一个不等式(在文献的附录E中)证明了n 维再见流形的体积不能小于半径r=d 2¼ 的标准n维球面的体积。温斯坦(A. Weinstein)证明了再见流形M的体积可由M中闭测地线空间上的上同调计 算所给出,并藉此证明了偶数维的布拉施克猜想。杨忠道则对奇数维的情况进 行了上同调计算,从而完成了对布拉施克猜想的证明。 布拉施克对陈省身的影响

陈省身首次遇见布拉施克是在1932年后者访问北京时,当时陈省身还是一个 年轻的学生。根据陈省身所说,布拉施克的\坚信数学是一门生气勃勃和明白易 懂的学科"对陈省身决定到汉堡大学去学习数学起了重要的作用。陈省身于1934 年来到汉堡,在布拉施克的指导下,于1936年获得博士学位。陈省身也开始跟随 凯勒(KÄahler)学习外微分系统和所谓的嘉当--凯勒理论。随后,布拉施克安排 陈省身到巴黎的埃利¢嘉当那里继续学习一年。 陈省身能够运用外微分形式,十分有效地把布拉施克关于微分几何和积分几 何的思想推广到更抽象的框架中去。类似的计算导致了陈省身求管子体积的工作, 并最终使他发现了示性类。

在索菲斯¢李(S.Lie)和庞加莱(J.H.Poincar¶e)早期工作的影响下,布拉施克和他的学生博尔(Bol)研究了网几何学。陈省身和格里菲思(P.A. GRI±ths)[10;11;9]对该课题做了一些工作。详情可参看如陈省身所写的综述文章

布拉施克三维网猜想高悬半个世纪美国人破解了

【星岛网讯】美国新泽西理工学院(NJIT)数学系教授歌德堡最近领导一个研究团队,破解一个近代数学史上高悬半世纪的难题:布拉施克三维网猜想,为"网几何"领域做出重大贡献。

德国数学大师布拉施克在1955年提出一个著名的猜想:数学家没有希望找到方法,将一个"曲线网"映像为一个由不相交直线组成的网。布拉施克是近代几何学发展史上的重要人物,"网几何"就是他开创,但他后来因参加纳粹而身败名裂。

歌德堡指出,布拉施克所谓的"没有希望"是指这个问题不可能以人工计算的方式解决,当时没有计算机运算协助布拉施克。但歌德堡与以色列本古里昂大学教授阿奇维斯、挪威特浪索大学教授李查金合作,藉先进计算机软件之助,终于解决这道难题。论文刊登在3月份《几何分析期刊》。

"网几何"研究将一系列曲线覆盖在格状的横线与直线形成的"网",钻研者并不多,但经济学家与物理学家--尤其是热力学--经常援引其研究成果,已故华裔数学大师陈省身也是这个领域的翘楚。

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