2022-03-27 09:06:08

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根据函数在一些离散点函数值,推算它在某点的导数或某高阶导数的近似值。通常用差商代替微商,或用一能近似代替该函数的较简单的函数(如多项式样条函数)的相应导数作为所求导数的近似值。

基本信息

  • 中文名称

    数值微分

  • 外文名称

    numerical differentiation

目录

折叠 编辑本段 简介

数值微分(numerical differentiation)根据函数在一些离散点的函数值,推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法。通常用差商代替微商,或者用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数(如多项式样条函数等)的相应导数作为能求导数的近似值。例如一些常用的数值微分公式(如两点公式、三点公式等)就是在等距步长情形下用插值多项式的导数作为近似值的。此外,还可以采用待定系数法建立各阶导数的数值微分公式,并且用外推技术来提高所求近似值的精确度。当函数可微性不太好时,利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。如果离散点上的数据有不容忽视的随机误差,应该用曲线拟合代替函数插值,然后用拟合曲线的导数作为所求导数的近似值,这种做法可以起到减少随机误差的作用。数值微分公式还是微分方程数值解法的重要依据。

折叠 编辑本段 举例说明

根据函数在一些离散点的函数值,推算它在某点的导数或某高阶导数的近似值。通常用差商代替微商,或用一能近似代替该函数的较简单的函数(如多项式、样条函数)的相应导数作为所求导数的近似值。例如,对带余项的插值公式ƒ(x)=I(x)+R(x)取k阶导数就得到带余项的数值微分

公式1公式1,这里插值函数I(x)的k导数I(k)(x)即为所求k阶导数 ƒ(k)(x)的近似值,而插值函数余项R(x)的k阶导数R(k)(x)则给出此近似值的截断误差

通常利用多项式插值进行数值微分。设函数ƒ(x)在n+1个等距点xv=α+vh(v=0,1,…,n)上的值ƒv=ƒ(xv)为已知,则通过低次插值可导出一些最基本和常用的数值微分公式,例如,两点公式 三点公式等等。此外,利用具有n+1个等距节点的拉格朗日插值公式,还可导出在节点xj(i=0,1,…,n)上的较为一般的数值微分公式

这里Ai,v、Bi,v仅与 niv有关,而相应的截断误差可分别表成式中因此,当节点的个数n+1固定时,间距h愈小, 则截断误差也愈小。但是这时系数绝对值之和随h的变小而剧增,所以函数值ƒv的舍入误差对近似导数的影响也随h的变小而剧增。因此,h并非愈小愈好,而是要适中,这是数值微分不同于某些插值之处。如果函数ƒ(x)有很好的可微性,即存在绝对值不太大的较高阶导数,则宁取间距稍大而个数稍多的节点。当ƒ(x)在节点分布的整个区间上的可微性不太好时,利用样条插值进行数值微分比利用多项式插值更适宜,只是计算量要大得多。

如果数据ƒv带有不容忽视的随机误差,而其对应的自变量分布甚密,就应该用曲线拟合代替上述函数插值,然后用拟合曲线的导数作为函数ƒ(x)的导数的近似值。这样求得的导数叫做磨光的导数。

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