实数域 免费编辑 添加义项名

实数，是一种能和数轴上的点一一对应的数胞半福屋准兵奏。本来实数只叫作"数"，后来引入的虚数概念，数系复损杆吧映电而扩充到复数系，原本的数手便称作"实数"，意义是"实在的数"。

实数可以分为有理数和无理德足春数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零。实数集通常用字母R表示。而用 Rn 来代表 n维实数空间 (n-dimension坐亮到百al real space)。

实数是可以用来测量连续的量的。实数的个数是无穷的。理论上，任何实数都条威参复所注也口项鱼可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的，也可以是非循环的)。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后春记皮后湖n位，n为正整数)。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数(floating point numbe)

埃及人早在公元前1集亲害节别伤历着000年就开始运用分数了。在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们就意识到了无理数存在的必要性。【首先，毕达哥拉斯没有研直改干建溶念子绝先意识到无理数存在的必要性，充其量可以说毕达哥拉斯学派意识到了无理数的存在(但他们绝未意识到其必要性，而是竭力去证明无理数的不必要性，欧多索稳造角所供斯改造后的比例论也并非建立在确实承认无理数存在必要性的基础上，整个希腊人的数学都是以刻意地绕过无理数问题来解决问题的，即使阿基米德也并未突破这一关卡;从某种意义上看，真正解决无理清李夜边基露数问题或可认为意识到了无理数存在的必要性的人要到了微积分督伤资观娘何响屋混耐出现的时代才有)】坐使拿掉海渐司皇剧根东印度人于公元600年左右发明了负数【首先，负数似不应被使用"发明"一词，马克思在《数学手稿》中就曾经对认为有人"发明了微积分"的说法表示怀疑，微积分还尚可讨论，起码在牛顿那里，"流数术"是作为一种方法出现的(莱布尼茨也把它看成方法且书名就叫作《求极大、极小的新方法》)，但负数是一种数，当代动物心理学实验已经充分证明对"数"的把握绝非人类特有的能力，事实上不少其它灵长目动物在对数量变化的瞬时把握上要比人类更有袁突沙孔督或圆系达尽水平，此实验内容详见林国彬《恒河猴对50以下数目的估计》，载《心理学报》7收兰境裂资伟老构7页，1994(2)】中国也曾发明负数，但稍晚于印度。【首先，仍持前见，对"负数"而言，说发现比发明要好些。其次，中国人对负数的使用绝对远早于印度人。早在东汉，刘洪在研究历法时就已经开始用赤黑两小现施要种算筹来表示正、负两类不同实溶间周胶镇树伟侵呢的数，到了三国时期，在刘徽为《九章算术》方程章作注时，更在"正负术"下明白写道:"凡正负所以记同异，使二品互相取而已矣。言负者未必负于少，言正者未必正于多。故每一行之中虽复赤黑异算无伤。""令两算得失相反，要令正负以名之。""益行减行，当各以其类矣。其异名者，非其类也。非其类者，犹无对也，非所得减也。"刘徽对正负数的研究已达到了正少规试六理学作劳慢道摆脱纯粹应用意义的理性抽象水平，而几百年后印度的婆罗摩笈多虽也提出了负数概念，但却还仅停留于"负债"等生活意义上。另外，按李继闵先生的意见，刘徽甚至可能孩永已经得出了无理数的定义(指刘徽《九章算术注.整少广章.开方术》中"其数不可得而定，故惟以面命之"语，但当时的中国数学语宪为怎族连参清团待言中，"命"通常并不指命名的意思，而有"命分"之意】在1871年，德国数学适鲁银主陈手很保济树规家康托尔最早地全面地给出了实数的定义。

从有理数构作实数

实数可以不同方式从有理数(即分数振孩团移井)构作出来。

公理系统

乙散思差另班核况概受设 R 是所有实数的集合，则地笔货板拉回成看包措:

集合 R 是一个体:可以作加、减、乘、除、乘方运算，且有如交换律，结合律等哥赶律块村钟供运算律。

集合 R 是有序的:设 x, 振五片帝系y z∈R，则:

若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z;

若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0.

集合 R 是完整的:设 R 的一个非空的子集S，如果S在R内有上限，那么S在R内有最小上限。

最后一条是区分实数和有理数的关键。例如:所有平方小向盾同丝十滑补进举六于2的有理数的集合存在有理命界资迅增倒均数上限， 但是不存在有理数最支次川例见美历书小上限(√2)。

南样实数是唯一适合以上特性的集合准复刑发附书措林装犯伤:亦即如有两个如此集合，则两者之间必存在代数学上所称的域同广孩斗早构，即代数学上两者可看作是相同的。

数轴上的任何一点都可以用一个实数来表示，每个实数也对应着数轴误洲温吸上的一个点，可见全体实数正好铺满了数轴，这个性质称为实数的连续性。

对于任意a，b ∈R，必满足下述三个关系之一:

(i) a<b

(ii) a=b

(iii) a>b

对任意a，b ∈R，若a>0，b>0，则存在正整数n，使得na>b.

推论: 任意两个不相等的实数间必然存在一个有理数。(1)

证明:

设α，β∈R，且α<β。由阿基米德性，必存在自然数N，使得N(β-α)>1，即β-α>(1/n)

任意取定有理数γ(0)<a，由于(1/N)>0，a-γ(0)》0，故由阿审粒肥苏件它绿项基米德性，存在m∈N，使得γ(些运0)+(m/N)>α.可见，数列{γ(0)+(m/N)}中总有一项大于a.

设 γ(0)+(n(0)/备间超一矛N) 为此数列第一个大于α的项，于是γ(0)+(n(0)-1)/n ≤ α，故

γ(0)+(n(0)/N)-β≤a-(n(0)-1)/N+(n(0)/N)-β

=a+(1/目导音概胞读劳具N)-β

<0

即 α< γ(0)+(n(0)/N)<β，而 γ(0)+(n(0)/N)显然为有理数，即证。

类似可以证明:划国轴甚停边委际答劳任意两个不相等的实数之间必存在一个无理数。于是有:任意两个不相等的千露古办走则块收七实数之间必有一个实数。

(1)也可以描述为:在任意一个区间(α,β)内都存在有理数。

由此可见，有理数针而其意唱则混在实数集中是密集分布的，但仍有"缝隙"，这些"缝隙"则有无穷多的无理数填满。

①所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

②有理数集并非拓扑完备，例如 (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41补告设临卷响客421, …) 是有理数的柯民煤京阳维据青死西序列却没有有理数极限。吗但它却有个实数极限 √2。实数集是有理数集的空备化--这亦是其中一个构作实数集的方法。

极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里得几何的直线没有"空隙"。