2018-08-26 16:50:05

锐角三角函数

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锐角三角函数是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。如图:我们把锐角∠A的正弦、余弦、正切和余切都叫做∠A的锐角函数。

基本信息

  • 中文名

    锐角三角形函数

  • 外文名

    Trigonometric Function Of Acute Angle

  • 应用学科

    数学,物理,天文等

  • 自变量

    锐角

折叠 编辑本段 定义

锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c

余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c

正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b

余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a

初中学习的 锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的,所以在初中阶段求锐角的三角函数值,都是通过构造直角三角形来完成的,即把这个角放到某个直角三角形中。到了高中三角函数值的求法是通过坐标定义法来完成的,这个时候角也扩充到了任意角。所谓锐角三角函数是指:我们初中研究的都是锐角 的 三角函数。初中研究的锐角 的 三角函数为:正弦(sin),余弦(cos),正切(tan)。

折叠 编辑本段 函数值

折叠 特殊角

特殊角的三角函数值如下:

角度

30°

45°

60°

90°

正弦(sin)

0

1/2

√2/2

√3/2

1

余弦(cos)

1

√3/2

√2/2

1/2

0

正切(tan)

0

√3/3

1

√3

不存在

余切(cot)

不存在

√3

1

√3/3

0

正割(sec)

1

2√3/3

√2

2

不存在

余割(csc)

不存在

2

√2

2√3/3

1

注:非特殊角的三角函数值,请查三角函数表

折叠 取值范围

θ是锐角:

0<sinθ<1

0<cosθ<1

tanθ>0

cotθ>0

变化情况

1.锐角三角函数值都是正值

2.当角度在0°~90°间变化时,

正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) ,余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) ;

正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) ,余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);

正割值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小),余割值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

3.当角度在0°≤A≤90°间变化时,0≤sinA≤1, 1≥cosA≥0;当角度在0°<A0, cotA>0。

折叠 编辑本段 关系式

折叠 同角三角函数

李善兰三角函数展开式

(此公式又称"李善兰三角函数展开式" 或"李氏三角恒等式")

tanα·cotα=1

希腊三角函数公式

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα直角三角形中的锐角三角形函数直角三角形中的锐角三角形函数

1+(tanα)^2=(secα)^2

1+(cotα)^2=(cscα)^2

锐角三角函数诱导公式

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

sin(2kπ+α)=sinα

cos(2kπ+α)=cosα

tan(2kπ+α)=tanα

cot(2kπ+α)=cotα(其中k∈Z)

二倍角、三倍角的正弦、余弦和正切公式

Sin(2α)=2sinαcosα

Cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2

Tan(2α)=2tanα/(1-tanα)

sin(3α)=3sinα-4sin^3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α)=4cos^3α-3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α)=(3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

折叠 公式

和差化积积化和差公式有如下几个:

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

sinαcosβ=-[sin(α+β)+sin(α-β)]

sinαsinβ=-[1][cos(α+β)-cos(α-β)]/2

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

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