周期函数 免费编辑 添加义项名

设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质:f(x+T)=f(x);

则称f(x)是数集M上的周期函数，常数T称为f(x)的一个周期。如果在所里建川有正周期中有一个最小抓差鸡前延掌两以免的，则称它是函数f在(x)的最小正周期。

由定义可得:周期函数f(x)的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

正弦函数图象

周期函数的性质共分以下几个类型:

(1)若T(≠0)是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。

(2)若T始声用某存谁绍续吧联(≠0)是f(X)的周期，则nT(n为任意非零整数)也是f(X)的周期。

(3)若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。

(4)兵若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T议绿粉*的正整数倍。

(5)若T1、T2是f(X)的两个周少庆客验最肥粮终复树期，且T1/T2是无理数，则f(X)不存在最小正周期。

(6)周期函数f(X)的定义域M必定是至少一方无界的集合。

周期函数定理，总结一共分以下几个类型。

若f(X)是在集合M上以T*为最生谈流小正周期的周期函数，则K f(X)+C(K≠0)和1/ f(X)分别是集M和集{X/ f(X) ≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。

证:

∵T*是f(X)的周期，∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，

∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。

假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T比紧超守轴业'(0<T'<T内再降切操*)是K f(X)+C的周期，则对T'(0<T'<T*)是K f(X)+C的周尽美口眼衡州阳距玉伤期，

有K f(X+T')+C=K f(X) +C K[f(X+T')- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T')- f(X)=0，∴f(X+T')= f(X)，

∴T'是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。

同理可证1/ f(X)是集{X/ f(X) ≠0，X 好套基处单接岁脚}上的以T*为最小正满周期的周期函数。

若f(x)是集合M上以T*为最形矿强确从没小正周期的周期函数，则f(ax+n)是集合{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数，(其中a、b为常数)。

证:

【先证f(ax+b)的周期】

∵T*是f(X)的架经福企二巴侵周期，∴f(x±T*)=f(x)，有X±T*∈M，以ax+b替换x得，f(ax±T*+b)=f(ax+b)，此时ax+b∈M，提取a为公因式，得：f[a(x+T*/a)+影位孙哪绿提温历b]=f(ax+b)             ∴T*/a断顾善矿款劳是f(ax+b)的周期。

再证T*是f(ax+b)的最小正周期

假设存在T'/a(0<T'<T*;)是f(ax+b)的周期，

则f(a(x+T'/a)倒+b)=f(ax+b)，用x控找容左言/a-b/a替换x，得f(x+T')=f(x)

∴T'是f(x)的周期，但 T'<T*这与T*是f(x)的最小正周期矛盾。

∴不存在T'/a(0<T'<T减*;)是f(ax+b)的周期，即f(ax+b)的最小正周期为T*/ a

设f(u)是定义在集合M上的函数，u=g(x)是集合M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。

证:

设T是u=g道光接乙张族当画作从用(x)的周期，则 1有(x±T)∈M1且g(x+T)=g(x) ∴f(选讨除河g(x+T))=f(g(x)胜航)

∴=f(g(x))是M1上的周期函数。

例1

设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x备孙止范反远是R上的周期函数。

同理可得:分约队任识善⑴f(X)=Sin(cosx)，⑵f(X)=Si垂车例煤n(tgx)，⑶f(X)=Sin2x，⑷f(n)=Log2Sinx(sinx>0)也都是周期函数。

例2

f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数(中学数学中已证)。

例3

f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= (非周期函数)而f(g(x))=cosn 是非周期函数。

证:假设cos些n 是周期函数，则存在T>0使cos (k∈Z) 与定义中T是与X无关的常数矛盾，

∴cosn 不是周期函数。

由例2、例3说放教明，若f(u)是周期函数，u= g(X)是非周期认内函数，这时f(g(x))可能是，也可能不是周期函黑按棉投队于拉数。

设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它源派为传判世基异压们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。

证:

设 ((p·q)=1)设T=T1q=T2p则有:有(x±T)=(x±T1q)=(x±T2p)∈M，且f1(x+T) ±f2(x+T)= f1(x+T流陆吸1q) ±f2(x+T2p)= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证:f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数。

推论

设f1(X) 、f2(X)……f增味高玉扬正n(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若， … 能流林胶受业队直宗对(或T1，T2……Tn中任意两放容食所鸡告急文甲聚副个之比)都是有理数，则此n个函助战劳克概判评参万际台数之和、差、积也是M上的周期函数。

例1

f(X)=S号谁测军它处化严延inx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数。

例2

讨论f(X)= 的周期性

解:2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。

5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。

tg2 是以T3= 阳弱秋政夜特率未领重为最小正周期的周期函数。

又 都是有理数

∴f(粒服样镇粉存圆X)是以T1、T2、T3最小公倍数(T1、T2、T3)= 为食最小正周期的周期函数。

同理可证:

⑴f(X)=cos ;

⑵f(x)=sin2xco啊s2x+cos2xcos3x+cos3xsi安间级盐以顾失n3x。是周期函数。

设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。

证

先证充分性:

出字两若a1/a2∈Q，画在设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期，则T1= 、T2= ，又 ∈Q

由定理4可得f1(宁因克选止保x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。

再证必要性(仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明)。

⑴设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T>0，

使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(乙东序板航假受城按x+T)-cosa2x 2cos(a1x+)sin = -2sin s(a2x+) sin ⑴。

令x= 得2cos(a1x+)，则 (K∈Z)。⑵

或 C∈Z⑶

又在⑴中令 2sin(a2x+)sin =-2sin =0

由⑷

由sin ⑸

由上述⑵与⑶，⑷与⑸都分别至少有一个成立。

由⑶、(5得)⑹

∴无论⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。

⑵设sinaxcosa2x为周期函数，则 是周期函数。

⑴若f(X)的定义域有界，

例:f(X)=cosx(≤10)不是周期函数。

⑵根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。

例:f(X)=cosx 是非周期函数。

⑶一般用反证法证明。(若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数)。

例:证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。

证:假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T(≠0)，使true ，a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。

例:证f(X)= 是非周期函数。

证:假设f(X)是周期函数，则必存在T(≠0)对 ，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0，∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。

例:证f(X)=sinx2是非周期函数

证:若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T(>0)，使之true ，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ(K∈Z)，又取X= T有sin(T+T)2=sin(T)2=sin2kπ=0，∴(+1)2

T2=Lπ(L∈Z+)，∴

与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。