2018-07-13 16:35:39

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函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的反函数叫做反正弦函数,记作x=arcsiny.

折叠 编辑本段 基本介绍

反正弦函数反正弦函数

函数y=sinx的反函数叫做反正弦函数,记作x=arcsiny.

习惯上用x表示自变量,用y表示函数,所以反正弦函数写成y=arcsinx.

定义域是 [-1,1] ,值域是y∈ [-π/2 , π/2] ;

arcsinx的含义:

(1) 这里的x满足 ;

(2) arcsinx是 (主值区)上的一个角(弧度数);分得再细一点,即当 时, ;当 时, 。

(3) 这个角(弧度数)的正弦值等于x,即sin(arcsinx)=x.

函数图象:我们知道这个结论“函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称”,先画出函数y=sinx在 上的图象,用平板玻璃或透明纸画好图象,翻转过来,从图象上我们可以得到以下两个结论:

(1) 反正弦函数y=arcsinx在区间 [-1,1] 上是增函数;

(2) 反正弦函数y=arcsinx的图象关于原点对称,这说明它是奇函数,也就是arcsin(-x)=-arcsinx,x∈ [-1,1].

折叠 编辑本段 反正弦恒等式

sin(arcsinx)=x,x∈[-1,1]

(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

arcsinx=-arcsin(-x)

arcsin(sinx)=x ,x属于[-π/2,π/2]

折叠 编辑本段 证明

折叠 单调性

在x,y∈[-π/2,π/2]x<y时:

sinx-siny=2sin[(x-y)/2]cos[(x+y)/2]

∵2sin[(x-y)/2]∈[-π,0]<>0

cos[(x+y)/2]∈[-π,0]><0

∴sinx-siny<0,sinx<siny.

∴在-1<x<y<1时,arcsinx<arcsiny

∴是增函数

折叠 奇偶性

∵y=sinx,y=x都是奇函数,∴y=arcsina也是奇函数

折叠 编辑本段 应用

临界角是最少的入射角使得全内反射发生。入射角是由折射界面的法线量度。

其中n2是较低密度介质的折射率,及n1是较高密度介质的折射率。这条方程式是一条斯涅尔定律的简单应用,当中折射角为90°。  当入射光线是准确的等于临界角,折射光线会循折射界面的切线进行。以可见光由玻璃进入空气(或真空)为例,临界角约为41.5°。

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