2016-04-12 11:34:48
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证明 - 数学术语 免费编辑 修改义项名

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在数学上,证明是在一个特定的公理系统中,根据一定的规则或标准,由公理定理推导出某些命题的过程。

基本信息

  • 中文名

    证明

  • 类    型

    数学术语

  • 射影定理

    可以只用勾股定理来证明

  • 归纳推理

    experimental mathematics

折叠 编辑本段 ​相关概述

Heuristic argument

折叠 编辑本段 归纳推理

experimental mathematics

折叠 编辑本段 射影定理证法

折叠 证法一

可以只用勾股定理来证明。

①CD^2=AD×BD;②AC^2=AD×AB;③BC^2=BD×AB;④AC×BC=AB×CD

证明:①∵CD^2+AD^2=AC^2,CD^2+BD^2=BA^2

∴2CD^2+AD^2+BD^2=AC^2+BC^2

∴2CD^2=AB^2-AD^2-BD^2 ∴2CD^2=(AD+BD)^2-AD^2-BD^2

∴2CD^2=AD^2+2AD×BD+BD^-AD^2-BD^2 ∴2CD^2=2AD×BD ∴CD^2=AD×BD

②∵CD^2=AD×BD(已证) ∴CD^2+AD^2=AD×BD+AD^2 ∴AC^2=AD×(BD+AD) ∴AC^2=AD×AB

③∵BC^2=DC^2+BD^2 且DC^2+BD^2=AD×BD+BD^2=(AD+BD)÷BD=AB×BD ∴BC^2=AB×BD

④∵S△ACB=1/2AC×BC=1/2AB×CD ∴1/2AC×BC=1/2AB×CD ∴AC×BC=AB×CD

折叠 证法二

三角函数证明

由等积法可知:AB×BC=BD×AC

在Rt△ABD和Rt△ABC中,tan∠BAD=BD/AD=BC/AB

故AB×BC=BD×AC两边各除以tan∠BAD

得:AB2=AD×AC 同理可得BC²=CD·CA

在Rt△ABD和Rt△BCD中

tan∠BAD=BD/AD, cot∠BCD=CD/BD

又∵tan∠BAD=cot∠BCD

故BD/AD=CD/BD

得BD2=AD×CD

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