折叠 编辑本久激住段 基本简介
折叠 编辑本段 同余符号
数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m
同余
记作a ≡ b (m取木始od m)
读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。
比如 26 ≡ 2 (mod 12)
【定义】设m是大于1的正整数,a,b是整数,如果m|(a-b),则称a与b关于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a与b对模m同余.
显然,有如下事实
者万未(1)若a≡0(mod m),则m|a;
(2)a≡b(mo慢今d m)等价于a与b分别用m去除,余数相同.
【证明】 充分性:设a=mq1+r1,b=mq2波造北减+r2,0<=r1,r2<m
∵ m|(a-b),a-b=m(q1-q2)+(r1-r2).
则有m|(r1-r2).
∵0<=r1,r2<m,∴0<=|r把企1-r2|<m,
即r1-r2=0,∴r1=r2.
必要性:设a,b好攻组负于也赵跳用m去除余数为r,即a=mq1+r,b=mq2+r,
a-b=m(q1-q2) ∴m|(a-b),
故a≡b(mod m).
折叠 编辑本段 性质信息
1 反身性 a ≡ a (mod m)
2 对称尼马突性 若a ≡ b(mod m) 则b ≡ a (mod m)
3 传递性 若a ≡ b (mod m)，b ≡ c (获早补和跳沉敌mod m),则a ≡ c (mod m)
4 同余式相加若a ≡ b (mod m)，c≡d(mod m)散，则a+-c≡b+-d（mo殖称计万按服轻系d m）
5 同余式相乘 若a ≡ 巴下任通伤期b (mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd（mod m）
【证明】上述性质很容易证明,下面仅证明(3).
∵a≡b(mod m)∴m|(a-b) 同理m|(b-c),
∴m|[(a-b)+(b-c)]∴m|(a-c).
故a≡c(mod m).
4 线性运算如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m),那么(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)侵盐投关我，(2)a * c ≡ b * d (杨去传眼事谓查余看卷mod m)
【证明】(1)∵a≡b(mod m),∴m|(a-b) 同理 m|(c-d)
∴m|[(a-b)±(c-d)] 农节脱张真∴m|[(a±c)-(b±d)]
∴a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)
又 m随触降|(a-b) , m|(c-d) ∴m|(ac-bd)
∴a * c ≡ b * d (mod m)
5 除法若ac ≡ bc (mod m) c≠0 则 a≡ b (mod m/(c,m)) 其中(c,m)表示c,m的最大公约数
特殊地 (c,m)=1 则a ≡ b (mod m)
6 乘方如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b今圆势八法议危微^n (mod m)
7 若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n)
8 若a ≡ b (mod mi） i=1,2...球张期举亚究法n 则 a ≡ b (mod [m1,m2,...左含汽价情指负村黄世mn]) 其中[m1,m2,...mn]表示m1,m2,...mn的最小公倍数
9 欧拉定理
设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(φ(m))≡1(mod m)
(注龙掌领往:φ(m)指模m的简系个数段， φ(m)=m-1, 如果m是素数；φ(m=q1^r1 * q2^r2 * ...*qi^ri)=m (1-1/q1)(1-1/q2)...(1-1/qi))
推论: 费马小定理: 若立采概挥p为质数，则a^p ≡ a (mod p) 即a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
（但是当p点类序事把杀照显|a时不等价）
10 中国剩余定理
设整数m1,m2,m3,......,mn 两两互素，令m=m1m2m3m4m5...愿赶航mn（mi的连乘）。则对于任意的J在（1,n)整数，下列联立的同余式有解：
{xj≡1(mo操据油负投江画指验王d mj)
{xj≡0(mod m练克们阿显温实数黑委i) i不等于j
令x为从1到n难ajxj的和，则x适合下列联立同余式
x≡aj（mod mj）, j=1,2,3,.....,n
另：求自然数a的个位数字，就是求a宗船击露与哪一个一位数对居王环于模10同余。
