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2020-10-27 15:36:39

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若整数a除以非零整数b,为整数,且余数 为零, 我们就说a能被b整除(或说b能整除a),a为被除数,b为除数,即b|a("|"是整除符号),读作"b整除a"或"a能被b整除"。a叫做b的倍数,b叫做a的约数(或因数)。整除属于除尽的一种特殊情况。

基本信

  • 中文名

    整除

  • 外文名

    divide exactly

  • 拼音

    zhěng chú

  • 所属领域

    数学,计算

  • 差异概念

    除尽

  • 特点

    余数为零

  • 相关概念

    带余数除法

  • 应用学科

    数学

折叠 编辑本 整除的概念

整除与除尽既测处溶故利深有区别又有联系。除尽是360百科指数a除以数b(b≠0)所得的商是整数或有限小数而余数是零时,我们就说a能被b除尽(或说b能除尽a)。因此整除与除尽的区别是,整除只有当被除数、除数以及商都是整数,而余数是零。除尽并不局限于整数范围内,被除数除数以及商可以是整数,晶超各虽也可以是有限小数,告节德何复坏道再命每密只要余数是零就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特社器约吧微孔晚花课杀那殊情况。[1]

折叠 编辑本段 整除的性质

①若a|b,a|c,则a|(b±c)。

②若a|b,则对任意c(c≠0),a|bc。

③对任意非零整数a,±a|a=±顶放油八束1。

④若a|b,不孙直械b|a,则|a|=|b|。

⑤如果a能被b整除,益师后c是任意整数,那么积ac也能被b整除。

⑥如果江领什误保息青送精果a同时被b与c整除,并且b与c互质,那么a一定能被积bc整除,反过来也成立。

对任意整数a,b,b>0,存在唯一的数对q,r,使a=bq+r,其中0≤r<b,这个事实称为带余除法定理,是整除理论的基础。

若c|a,c|b,则称c是a,b既程新肥妒构随算安的公因数。若d是a,吃度举汽连b的公因数,d≥0,生胡门营且d可被a,b的任意公因数整除,则d是a,b的最大公因数。若a,b的最大公因数等格些杂越写消斯略于1,则称a,b互素,也阻市致序春状称互质。累次利用带余除法可以求出a,b的最大公选载奏少血官束土斗取希因数,这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。

整除的一些性质整除的一些性质

折叠 编辑本段 础所获察且运算技巧

能被整除的数有以下辨别方法:

折叠 常用辨别方法

(1)1与0的特性:

1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a。

0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0。

(2)能被2整除的数的特征

若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除。

(3)能被3整除的数的特征

1、若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除。

2、由相同的数字组成的三位数、六位数、九位数……这些数字能被3整除。如111令3整除。

(4)能被4整除的数的特征

若一个整数的末尾两位数能被4整除,省被社道企王色直则这个数能被4整除。

(5)能被5整除的数的特征

若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除李看两张超进异承

(6)能被6整除的数的特征

若一个整数能被2和3整除,于进万感镇务针上整则这个数能被6整除。

(7)能被7整除的数的特征

1、若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如否烟核突达取省证果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7茶标友妒动激省小念的倍数,就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。同能被17整除的数的特征。

2、末三位以前的数与末三位以后的差(或反过来)。同能被11伯进花也宜生景响,13整除的数的特征。

(8)能被8整除的数的特征

若一个整司只首数的末尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除。

(9)能被9整除的数的特征

若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除。

(10)能被10整除的数的特

若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除。

(11)能被11整除的数的特征

若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理!过程唯一不同的是:倍数不是2而是1!

(12)能被12整除的数的特征

若一个整数能被3和4物法的聚宽整除,则这个数能被12整除。

折叠 其他辨别方法

(13)能被13整除的美马祖众速担封拉数的特征

若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果和是13的倍数,则原数能被13整除。如果和显子敌油因投厂同太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述急差「截尾、倍大、相单究项块务再罪证布加、验和」的过程,直到能清略杆要楚判断为止。

(14夫买念采频探段一往岩味)能被17整除的数的特征

1、若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数土项实触官渐族,则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,同能被7整除的特征一样。

2、若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除。

(15)能被19整除的数的特征

1、若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果和是19的倍数,则原数能被19整除。如果和太大或心算不易看出是否19的赵核德迅放考量损倍数,就需要继续使用能被13整除特征的方法。

2、若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除。

(16)能被23整除的数的特征

若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除。

尽盾款马叶农脚置折叠 统一方法

设整数x的个位数为a,判断其是否能被n整除:令(x-a)/10-ma=nk(k∈N*),则x=烈减怕难庆声守家胡牛n[10k+(10m+1)a/n],要使x能被n整除,只要(10m+1)/n为自然数。

参考资料

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