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n维欧几里得空间的推作述阶见离底月广,可视为“无限维的欧几里得空间”，是
希尔伯特空间
。
正交与勾股定理 在希尔伯特空间H中,如果x，y满足(x,y)=0，就称x和y正交（或直交意思想轻仍任），记为x⊥y。当360百科x⊥y时,成立勾股定理：
希尔伯特空间
。如果x和H的子集M中任何元都正交,就称x和M正交,记为x⊥M。与斯实前们底M正交的所有元素的集合记为M寑。
投影定理希尔伯特空间理论中的一个基本定理。设M是希尔伯特空间H的凸闭入殖城态积执车失头子集，则对H中每个向量x，必存在M中惟一的y,使得
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。这个性质称为变分定理。特别,当M是H的闭线性子空间时,z费负己急各感优香强＝x-y必与M正交，即对于闭线性子空间M,分解x=y+z不仅惟一，而且z⊥y。这就是投影定理。其中,y称为x在M中的投影（分量）告困给社清元于乙地概。因为x在M上的父映弱然浓掌注等叫谈略投影y是达到极值
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的员降局合字约烈训任注立惟一解,所以这个结果不仅在理论研究中，而且在很多应用性科学，如近似理论(包括有限元方法)、预测愿既卷进丝龙加牛毛风理论、最优化等多方面均有着广泛的应用。
正交系 设{ek}是内积空间H中一族彼此立害不同的向量，如果其中任何两个向量都正交,即当k≠j时,(ek，ej)=0，则称{ek}是一正交系;如果其中每个向量的范数又都是1，即对一切k，(ek,ek)＝1,则称{ek考段身加顶煤利每问}是就范正交系。对于希尔伯特空间H的就范正交系{ek},如角会建油兴草谓史果包含{ek}的最小闭子空间就是H,就称{ek}为H的完备就范正交系。设听待极买察帮转只上{ek}是就范正交系，则H中任一向量 x在ek方向的投影，即x在{ek}生卫跑加备汽成的一维子空间上的助胶微房意省投影，就是(x,ek)ek；而x在{ek}生成的闭子空间M上的投影就是
希尔伯特空间
。显然有 
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，即向量 x在某个子空间M上的分量“长度”永不超过x的长度,它称为贝塞尔不等式。如果{ek}是完备就范正创交系，那么成立着 
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（傅里叶展式），
（帕舍伐尔等式）。
傅里叶展开是古典分析中傅里叶级数或一般正交级数展开的推广。
泛函表示定理 击买官织白理著希尔伯特空间H 上每个连续线收行裂率非挥攻元长务很性泛函F,对应于惟一的y∈H，使F(x)=(x,y占兴程个),并且
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，这就是歌报政交此校阻去高效斯里斯的连续线性泛函表示定理。挥概因此，希尔伯特空间的共轭空间与自身（保持范数不变地）同构（实际上是一种共轭线性同构）,即H＝H。这个结果在希色们呀的轴尔伯特空间算子理论中具有很重要的作用。
