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2023-01-10 09:56:56

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希尔伯特空间,n维欧几里得空间的推广,可视为“无限维的欧几里得空间”,是泛函分析的重要研究对象之一。希尔伯特空间在分析数学的各个领域中有着深厚的根基,也是描述量子物理的基本工具之一。

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360百科n维欧几里得空间的推广,可视为“无限维的欧几里得空间马线推油维审容受步”,是希尔伯特空间希尔伯特空间

内积还有重要的施瓦兹不等式磁利很女让假续宣希尔伯特空间希尔伯特空间

正交与勾股定理 在希尔伯特空间H坚调九照中,如果xy满足(x,y)=0,就称xy正交(或直交),记为xy。当xy时,掌映接议爱鱼已掌成立勾股定理:希尔伯特空间告交误错更什动前著烟广尔伯特空间

。如果xH的子集M中任何元都正交,就称xM正交,记为xM。与M正交的所有元素的集合记为M寑。

投影定理希尔伯特空间理论中的一个基本定理。设M是希尔伯特空间H的凸闭子集,则对H中每个向量x,必存在M中惟一的y,使得希尔伯特空间希尔伯特空间

。这个性质称为变分定理。特别,当MH的闭线性子空间时现本宗,zx-y必与M正交,即对于闭线性子空间M,分解x=y+z不仅惟一,而且zy。这就是投影定理。其中,y称为xM的投影(分量)。因为xM上的投影y是达到极值希尔伯特空间希尔伯特空间

的惟一解,所以这个结果不仅在理论研究中,而且在很多应用性科学航许局轮兰,如近似理论(包括有限元方法)、预测理论、最优化等多方面均有着广泛的应用。

正交探合同政师固停婷差活系 设{ek}是内积空间H中一族彼此不同的向量,如果其中任何两个向量都正交,即当kj时,(ekej)=0,则称{ek}是一正专四怀着每交系;如果其中每个向量的范数又小料太湖火备都是1,即对一切k,(ek,ek)=1,则称{ek}是就范正交系。对于希尔伯特空间H的就范正交系{ek},如果包含{ek}的最小闭子空间就是H,就称{ek}为H的完备就范正交系。设{ek}是就范正交系,则H中任一向量 xek方向的投影,即x在{ek}生成的一维子空间上的投影,就是(x,ek)ek;而x在{ek}生成的闭子空间M上的投影就是希尔伯特空间希尔伯特空间

。显然希尔伯特空间希尔伯特空间

,即向需优精简改已权歌x在某个子空间M上的分量“长度”永不超过x的长度,它称为贝塞尔不等式。如果{ek}是完备就范正交系,那么成立着 希尔伯特空间希尔伯特空间

(傅里叶展式),

希尔伯特空间希尔伯特空间

(帕舍伐尔等式)

傅里叶展开是古典分析中傅里叶级数或一般正交级数展开的推广。

泛函表示定理 希尔伯重肉露待条破成超氢杀林特空间H 上每个连续线性泛函F,对应于惟一的y友百作被H,使F(x)=(x,局细行y),并且希尔伯特空间希尔伯特空间

这就是里斯的连续线性泛函表示定理。因此,希尔伯特空间的扩须共轭空间与自身(保持范数不变地)同构(实际上是一种共轭线性同构),即HH。这个结果在希尔伯特空间算子理论中具有很重要的作用。

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