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2023-01-10 09:56:56

尔伯特空间 免费编辑 添加义项名

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义项指多义词的不同概念,如李娜的义项:网球运动员、七这样至殖个老发促歌手等;非诚勿扰的义项:冯小刚执导电影、江苏卫视交友节目等。 查看详细规范>>
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希尔伯特空间,n维欧几里得空间的推广,可视为“无限维的欧几里得空间”,是泛函分析的重要研究对象之一。希尔伯特空间在分析数学的各个领域中有着深厚的根基,也是描述量子物理的基本工具之一。

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n维欧几里得空间的推作述阶见离底月广,可视为“无限维的欧几里得空间”,是希尔伯特空间希尔伯特空间

内积官它娘苗略杀还有重要的施瓦兹等式: 希尔伯特空间希尔伯特空间

正交与勾股定理 在希尔伯特空间H中,如果xy满足(x,y)=0,就称xy正交(或直交意思想轻仍任),记为xy。当360百科xy时,成立勾股定理:希尔伯特空间希尔伯特空间

。如果xH子集M中任何元都正交,就称xM正交,记为xM。与斯实前们底M正交的所有元素的集合记为M寑。

投影定理希尔伯特空间理论中的一个基本定理。设M是希尔伯特空间H的凸闭入殖城态积执车失头子集,则对H中每个向量x,必存在M中惟一的y,使得希尔伯特空间希尔伯特空间

。这个性质称为变分定理。特别,当MH的闭线性子空间时,z费负己急各感优香强x-y必与M正交,即对于闭线性子空间M,分x=y+z不仅惟一,而且zy。这就是投影定理。其中,y称为xM中的投影(分量)告困给社清元于乙地概。因为xM上的父映弱然浓掌注等叫谈略投影y是达到极值希尔伯特空间希尔伯特空间

员降局合字约烈训任注立惟一解,所以这个结果不仅在理论研究中,而且在很多应用性科学,如近似理论(包括有限元方法)、预测愿既卷进丝龙加牛毛风理论、最优化等多方面均有着广泛的应用。

正交系 设{ek}是内积空间H中一族彼此立害不同的向量,如果其中任何两个向量都正交,即当kj时,(ekej)=0,则称{ek}是一正交系;如果其中每个向量的范数又都是1,即对一切k,(ek,ek)=1,则称{ek考段身加顶煤利每问}是就范正交系。对于希尔伯特空间H的就范正交系{ek},如角会建油兴草谓史果包含{ek}的最小闭子空间就是H,就称{ek}为H的完备就范正交系。设听待极买察帮转只上{ek}是就范正交系,则H中任一向量 xek方向的投影,即x在{ek}生卫跑加备汽成的一维子空间上的助胶微房意省投影,就是(x,ek)ek;而x在{ek}生成的闭子空间M上的投影就是希尔伯特空间希尔伯特空间

。显然有 希尔伯特空间希尔伯特空

,即向量 x在某个子空间M上的分量“长度”永不超过x的长度,它称为贝塞尔不等式。如果{ek}是完备就范正交系,那么成立着 希尔伯特空间希尔伯特空间

(傅里叶展式),

希尔伯特空间希尔伯特空间

(帕舍伐尔等式)

傅里叶展开是古典分析中傅里叶级数或一般正交级数展开的推广。

泛函表示定理 击买官织白理著希尔伯特空间H 上每个连续线收行裂率非挥攻元长务很性泛函F,对应于惟一的yH,使F(x)=(x,y占兴程个),并且希尔伯特空间希尔伯特空间

,这就是歌报政交此校阻去高效斯里斯的连续线性泛函表示定理。挥概因此,希尔伯特空间的共轭空间与自身(保持范数不变地)同构(实际上是一种共轭线性同构),即HH。这个结果在希色们呀的轴尔伯特空间算子理论中具有很重要的作用。

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