2020-06-23 14:31:57

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集合论基本概念之一,是日常使用的第一、第二等表示次序的数的推广。序数概念是建立在良序集概念之上的,而良序集又是偏序集、全序集的特殊情形。

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基本信息

  • 中文名

    序数

  • 外文名

    ordinal

  • 定义

    立在良序集概念之上的特殊情形

折叠 编辑本段 定义

序数原来被定义为良序集的序型,而良序集A的序型凭,作为从A的元素的属性中抽象出来的结果,是所有与A序同构的一切良序集的共同特征,即定义为{B|BA}。

这个定义从形式上看来是十分简单明瞭的,但在ZFC公理系统中不能证明它构成一个集合。事实上,{B|BA}是一个真类。因此,原来的那个定义是不成功的,必须修正,另走别的途径。设 α是一个良序集,ξ∈α,称S(ξ)={β∈α|β<;ξ}为在良序集α中由ξ所生成的初始截段。1923、1928年,J.冯·诺伊曼把序数定义为满足下述条件的良序集α:对于一切ξ∈α,S(ξ)=ξ。例如在集合9={0,1,2,…,8}中取一个元素2,S⑵={0,1}=2,9中任何其他元素也具有这个性质,所以9是一个序数。序数序数A称为归纳集,如果①═∈A,②只要αA就有α′=α∪{α}∈A。归纳集A的存在性是由无限公理保证的。A的一切归纳子集之交N称为自然数集,它是最小的归纳集。N良序的,并且其中任一元素n的初始截段S(n)={0,1,2,…,(n-1)}=n,所以N是一个序数,这个序数通常用ω表示。N的每一个元素n都是序数,称为有限序数。有限序数以属于每一个归纳集作为特征。其他序数称为超限序数,ω就是最小的超限序数。1937年R,M.鲁宾逊给出了序数的另一等价定义,良序集<;α∈>;是一个序数,若〈α,∈〉是传递集,即只要x∈α且yx就有y∈α,这些定义没有康托尔原来定义的缺点。 

折叠 编辑本段 相关概念

偏序全序和良序

次序是二元关系(见映射)的一个非常重要的类型。设R是定义在A上的满足下列条件的二元关系:①对于一切xAxRx(自反性);② 对于一切xyA,由xRyyRx可得x=y(反对称性);③对于一切xyzA,由xRyyRz可得xRz(传递性),就称R是定义在A上的偏序,也称半序。偏序R通常记为≤或≤,αb)读作αb前。集合A连同其上定义的偏序≤,称为偏序集,记为〈A,≤〉。实数集上的通常的大小关系、集合之间的被包含关系、自然数之间的可整除关系都是偏序的例。设≤为A上的偏序。如果在A上定义一个关系<;,使得x<y当且仅当xyxy,则关系<;满足条件:①′对任何xAx<x不成立,②′由x<yy<z可得x<z。这时<;称为严格偏序。反之,设<;为严格偏序,如果定义xy当且仅当x<yx=y,则≤必为偏序。因此在偏序与严格偏序之中只需讨论一种就够了。设〈A,≤〉为一偏序集,如果x0∈A且在A中没有其他x使xx0,则称   x0为A的一个极小元(素)。如果对于一切xAx0≤x,则称x0为A中的最小元(素),正整数集在整除的偏序下1是最小元,但若只限于大于1的整数,则只有极小元(每个质数)而无最小元。仿此可定义极大元与最大元。设x为偏序集〈A,≤〉的子集,如果存在αA,使得对于一切xx,有αx,则称αx(关于A)的一个下界。如果x的关于A的一切下界有一最大元α0,就称α0为x(关于A)的下确界,记为infx。仿此可定义上界和上确界,后者记为supxA上的偏序≤,如果再加上条件④对于一切xyA,总有xyyx(至少有一成立),就称≤为A上的全序,也称线序。〈A,≤〉称为全序集。显然,在全序集中x<yx=yx>y,三者必居其一且仅居其一。实数集及其任何子集在通常的≤关系下是全序集的例。对于全序集〈A,≤〉如果再加上条件⑤A的任一非空子集都有最小元,就称≤为A上的良序,〈A,≤〉称为良序集。按任何顺序排起来的有限集,按自然顺序的自然数集,将所有奇数排在前面、所有偶数排在后面的自然数集{1,3,5,…,2,4,6,…}都是良序集之例。但整数全体,区间[0,1],就不是良序集。设<A,≤1>,<B,≤2>;为两个偏序集,如果存在AB双射φ使得对于一切xyA,x≤1y当且仅当φ(x)≤2φ(y),便称两偏序集为序同构,记为AB。例如奇数集与偶数集序同构,但是上面列举的三个良序集没有两个是序同构的。

折叠 编辑本段 序数种类

第一种是0;第二种是某一序数α的后继α′=α∪{α},称为后继序数;其他序数属于第三种,称为极限序数。对于任何良序集A,必有一个且仅有一个序数α使A与α序同构,此时α称为A的序数,用凭 =α表示。任何两个具有相同序数的良序集,必定序同构,因此序数是同构良序集的共同特征,这正是康托尔序数概念的实质。

折叠 编辑本段 算术

设αξ(ξ<λ)为一序数列,在集合A=(图一)中规定其任意两个元素〈γi〉、〈δj〉的次序如下:<γi><<δj>;当且仅当i<j或者i=jγ<δ;则〈A,<;〉构成一个良序集A的序数可定义为序数列αξ(ξ<λ)之和,用(图二)表示之。特别地,当λ=2,α0=α,α1=β时, (图三)可简写为α+β;当对于任何ξ<λ,αξ=α时,可写成α·λ,称为两个序数α,λ的乘积。对于任何序数α、βγ,它们的加、乘运算满足:①结合律,(α+β)+γ=α+(β+γ),(α·βγ=α·(β·γ);②左分配律,α·(β+γ)=α·β+α·γ。但交换律与右分配律对序数的和、积却并不成立,例如:ω+1>ω=1+ω;ω·2>ω=2·ω;1·ω+1·ω=ω·2>ω=(1+1)ω。由于全体序数构成一个真类(布拉利-福尔蒂定理),因此对于任何极限序数λ,序数列{αξ|ξ<λ}总有上界,且必然存在最小的上界,它就是序数列{αξ|ξ<λ}的上确界(图五)。设α,β为序数,归纳地定义αβ如下:(图六)对于任何序数α、βγ,序数的幂满足:①同底幂的积,②幂的幂,(图8)。序数的幂运算不满足"积的幂"性质:

图一图一

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