2017-03-03 15:39:06

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线性独立 即 线性无关。

在线性代数里,向量空间的一组元素称为线性无关,如果其中没有向量可表示成有限个其他向量的线性组合,反之称为线性相关。

折叠 编辑本段 定义

在线性代数里,向量空间的一组元素如果其中没有向量可表示成有限个其他向量的线性组合称为线性无关,反之称为线性相关。例如在三维欧几里得空间R3的三个向量(1, 0, 0),(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, 1, 1),(1, 0, 1)和(3, 1, 2)线性相关,因为第三个是前两个的和。

折叠 编辑本段 相关性

含有零向量的向量组,必定线性相关。

若有向量组a1,a2,...,as,其中a1=0,则线性相关。

含有两个相等向量的向量组,必定线性相关。

若有向量组a1,a2,...,as,其中a1=a2,则必定线性相关。

若一向量组相关,则加上任意个向量后,仍然线性相关;即局部线性相关,整体必线性相关。

整体线性无关,局部必线性无关。

向量个数大于向量维数,则此向量组线性相关

若一向量组线性无关,即使每一向量都在同一位置处增加一分量,仍然线性无关。

若一向量组线性相关,即使每一向量都在同一位置处减去一分量,仍然线性相关。

a1,a2,...,as线性无关,而b,a1,a2,...,as线性相关,则b必可由a1,a2,...,as线性表示,且表示系数唯一。

向量组I{a1,a2,...,as}和II{b1,b2,...,bt},其中t > s,且II中每个向量都可由I线性表示,则向量组II必线性相关。即向量个数多的向量组,若可被向量个数少的向量组线性表示,则向量个数多的向量组必线性相关

若一向量组b1,b2,...,bt可由向量组a1,a2,...,as线性表示,且b1,b2,...,bt线性无关,则 t<=s。即线性无关的向量组,无法以向量个数较少的向量组线性表示。

折叠 编辑本段 如何理解

线性相关,就是在一组数据中有一个或者多个量可以被其余量表示。线性无关,就是在一组数据中没有一个量可以被其余量表示。从维数空间上讲,例如,一个三维空间,那么必须用三个线性无关的向量来表示,如果再加上另外一个向量,那么这个向量必然可以由上述三个向量唯一的线性表示出。在三维空间里,互相垂直的三个坐标轴就是一组最简单的线性无关的向量。并且是三维空间上的极大无关组。其实,只要是不在同一平面的三个互不平行的向量都可以组成三维空间上的极大无关组。那也就是线性无关的。至于如何理解线性相关和线性无关,其实很简单,举个线性空间上的例子,只要考察这一组向量是否能构成对应维数的线性空间上的极大无关组,也就是说这个维数空间上是否是所有的量都可以通过这组向量表示出。再比如,对一个三维空间,如果有三个向量,并且都在同一平面内,那么这三个向量无法表示出整个三维空间里的所有向量,因为这三个向量是线性相关的.

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