折叠 编辑本段 满足拉普拉斯方程
例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程
若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式:
二元函数
即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。
更一般地，圆内任何一点x=目副半秋案右单达rcosφ，y=r各厚金势sinφ(0≤r<R)处调和函数 u=u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出:形如上式右端的积分称作泊松积分。
设u(x仅亮样交力虽收困广虽,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，组互绝除非它恒等于一常数。这就货你元是调和函数的最大、最小值原理。
由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题:在区域G的边界G上给定一连续函数 ƒ(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取ƒ(x,y)的值，即
在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一众卷额企据还跑联军。
二维调和函数与解析函数论有着密切联系。在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部;反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调侵备测规流效电马和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为
(0≤r<R)。
对于任何α,│α│<R，此式还可写成
泊松积分是近代复变函数论中一个重要的研究工具，由此出发，可得出函数论中一系列重要反院结果。
折叠 编辑本段 "重调和"方程
若u(x,y)满足"重调和"方程
各友害任服屋突父走市则称u是重调和函数,它是数学物理方程理论中的一个重要函数类。调和函数和重调和函数，在力学和物理学中都有重渐概北仍那草理何主要的应用。类似地也有高维的重调和函数。
复分析由于拉普拉斯方程是椭圆型方程的一个特殊情况，故后者的解的一般性质也是调和函数备表育号春害的性质。
