2017-03-13 17:12:42

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欧几里得几何指按照古希腊数学家欧几里得的《几何原本》构造的几何学

欧几里得几何有时单指平面上的几何,即平面几何。本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何。 高维的情形请参看欧几里得空间。

基本信息

  • 中文名

    欧几里得几何

  • 装帧

    平装

  • 开本

    16

  • 页数

    342

折叠 编辑本段 词语

欧几里得几何

【注音】:ōu jī lǐ dé jǐ hé

折叠 编辑本段 释义

(图)欧几里得几何(图)欧几里得几何

简称“欧氏几何”。几何学的一门分科。公元前3世纪,古希腊数学家欧几里得把人们公认的一些几何知识作为定义和公理,在此基础上研究图形的性质,推导出一系列定理,组成演绎体系,写出《几何原本》,形成了欧氏几何。在其公理体系中,最重要的是平行公理,由于对这一公理的不同认识,导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中,分别称为“平面几何”与“立体几何”。

欧氏几何的建立欧氏几何是欧几里德几何学的简称,其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。在他以前,古希腊人已经积累了大量的几何知识,并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上,天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来,建成了一座巍峨的几何大厦,完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。这本书的问世,标志着欧氏几何学的建立。这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。后又被译成多种文字,共有二千多种版本。它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事,也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来,这部著作在几何教学中一直占据着统治地位,至今其地位也没有被动摇,包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。

折叠 编辑本段 历史作用

欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理,写下<几何原本>一书,使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。这部划时代的著作共分13卷,465个命题。其中有八卷讲述几何学,包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要,或者其对定理出色的证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。

在证明几何命题时,每一个命题总是从再前一个命题推导出来的,而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去,应有一些命题作为起点。这些作为论证起点,具有自明性并被公认下来的命题称为公理,如同学们所学的“两点确定一条直线”等即是。同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念,如点、线等。在一个数学理论系统中,我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理,以此为出发点,利用纯逻辑推理的方法,把该系统建立成一个演绎系统,这样的方法就是公理化方法。欧几里德采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义,然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素,作为已知,先证明了第一个命题。然后又以此为基础,来证明第二个命题,如此下去,证明了大量的命题。其论证之精彩,逻辑之周密,结构之严谨,令人叹为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系统。因而在数学发展史上,欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人,他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。正是从这层意义上,欧几里德的《几何原本》对数学的发展起到了巨大而深远的影响,在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。

折叠 编辑本段 公设不同

折叠 欧式几何

公设一: 由任意一点到任意一点可作直线。

公设二: 一条有限直线可以继续延长。

公设三: 以任意点为心及任意的距离可以画圆。

公设四: 凡直角都相等。

公设五: 同一平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角的和小于两直角,则这两直线经无限延长后在这一侧相交。(等价命题:过直线外一点,有且仅有一条直线与已知直线平行。)

折叠 罗氏几何

公设一: 由任意一点到任意一点可作直线。

公设二: 一条有限直线可以继续延长。

公设三: 以任意点为心及任意的距离可以画圆。

公设四: 凡直角都相等。

公设五:过直线外一点,至少可以做两条直线与已知直线平行。

折叠 关系

欧氏几何、罗氏几何、黎曼(球面)几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系。每个体系内的各条公理之间没有矛盾。因此这三种几何都是正确的。

宏观低速的牛顿物理学中,也就是在我们的日常生活中,我们所处的空间可以近似看成欧式空间;在涉及到广义相对论效应时,时空要用黎曼几何刻画。

折叠 分析

根据欧氏几何的5条公理,可以看出,这里所说的“欧氏几何”实际上是平面几何。除平面几何外,还有立体几何。我们通常所学的立体几何,基本也就是空间中点、线、平面的关系,没有涉及到曲面。

折叠 罗氏几何

根据罗氏几何的定义:从直线外一点,至少可以做两条直线和这条直线平行。我们仅需将空间中的平行线,定义为:不相交的两条直线叫罗氏平行线。就可以得到,过直线外一点,可以做任意多条直线和这条直线罗氏平行。同一直线的垂线和斜线不一定相交(可能是罗氏平行线)。垂直于同一直线的两条直线,当两端延长的时候,可能离散到无穷(不在同一平面的两条垂线,线距趋于无限远)。过不在同一直线上的三点,不一定能做一个圆。这个命题在一个特殊模型下成立:“过一个曲面上的不在同一条直线上的三个点,不一定能在曲面上做一个“公认”的圆”。但可以在这个曲面上做过这三点的一个平面的投影圆。

折叠 黎曼几何

黎曼几何的这个假设我们没有模型:在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。直线可以无限延长,但总的长度是有限的。这个在球面上是可以应用的。

此外:

曲面上,两点间最短的线称为这两点在该曲面上的直线,则曲面上两点间的直线,可以有多条。如果一个曲面上的线,在一个平面上的投影为一条直线,则称此直线为此曲面关于这个平面的直线,则过曲面上任意两点,能且仅能做关于此平面的一条直线。曲面上三点,不在关于某平面的直线上,则能且仅能做一个关于此平面的圆。

折叠 编辑本段 完善

公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域,对数学的发展产生了不可估量的影响,公理化结构已成为现代数学的主要特征。而作为完成公理化结构的最早典范的《几何原本》,用现代的标准来衡量,在逻辑的严谨性上还存在着不少缺点。如一个公理系统都有若干原始概念(或称不定义概念),如点、线、面就属于这一类。欧几里德对这些都做了定义,但定义本身含混不清。另外,其公理系统也不完备,许多证明不得不借助于直观来完成。此外,个别公理不是独立的,即可以由其他公理推出。这些缺陷直到1899年德国数学家希尔伯特的在其《几何基础》出版时得到了完善。在这部名著中,希尔伯特成功地建立了欧几里德几何的完整、严谨的公理体系,即所谓的希尔伯特公理体系。这一体系的建立使欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系。也标志着欧氏几何完善工作的终结。

折叠 编辑本段 意义

由于欧式几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点,在长期的实践中表明,它巳成为培养、提高青、少年逻辑思维能力的好教材。历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处,从而作出了伟大的贡献。

少年时代牛顿剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》,开始他认为这本书的内容没有超出常识范围,因而并没有认真地去读它,而对笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后来,牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选,当时的考官巴罗博士对他说:“因为你的几何基础知识太贫乏,无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是,牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复进行了深入钻研,为以后的科学工作打下了坚实的数学基础

近代物理学的科学巨星爱因斯坦也是精通几何学,并且应用几何学的思想方法,开创自己研究工作的一位科学家。爱因斯坦在回忆自己曾走过的道路时,特别提到在十二岁的时候“几何学的这种明晰性和可靠性给我留下了一种难以形容的印象”。后来,几何学的思想方法对他的研究工作确实有很大的启示。他多次提出在物理学研究工作中也应当在逻辑上从少数几个所谓公理的基本假定开始。在狭义相对论中,爱因斯坦就是运用这种思想方法,把整个理论建立在两条公理上:相对原理和光速不变原理。

在几何学发展的历史中,欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归结到一点,就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原本》中,就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学,这项工作,前人未曾作到。

但是,在人类认识的长河中,无论怎样高明的前辈和名家,都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限制,欧几里得在《几何原本》中提出几何学的“根据”问题并没有得到彻底的解决,他的理论体系并不是完美无缺的。比如,对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义,这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。又如,欧几里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念,但是在《几何原本》中从未提到过这个概念。

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