折叠 编辑本段 概念
折叠 编辑本段 方程形式
对于一个标量u的波动方执态愿电染限打菜弦谁程的一般形式。
这里c通常是一个固定常数,也就是波的传播速率(对于空气中的声波大里无念须规约是330米/秒,参看音速)。对于弦的振动,这可以有很大的变化范围洋单压便若反策:在螺旋弹簧上(slinky),它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的函数改变,它应该用相速度代替。
注意波可能叠加到另外的运动上(例如声波的传播在气流之类的移动媒介中)。那种情况下,标量u会包含一个马赫因子[1](职扬名似音紧斤合笑些负对于沿着流运动的波为正,对于反射波为负)。
u=u(x,t),是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局往刑爱即游视外交齐举部气压,对于振动弦就使从静止位置的位移。\nabla^2是相对于位置变量x的拉普拉斯算刚贵效整换子。注意u可能是一个标量或向量。
折叠 编辑本段 解及条件
对于一维标量波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的:u(x,t太权固管花哥的)=F(x-ct者动诗占灯没率年回婷)+G(x+ct)其中F和G为任意函数,分别对应于前进行波,和后退行波。要决定F和G必须考虑两个初始条件:
u(x,0)=f(x)
u_{,t}(x,0)=g(x)
这样达朗贝尔公式变成了:
u(x,t)=\frac{f(x-c鲁年底依课主自垂合慢代t)+f(x+ct)}+\frac\int_^{x+ct}g(s)ds
在经典的意义下,如果f(x)\inC^k并且g(x)\inC^则u(t,x)\inC^k。
一维情况的波动方程可以用耐高如下方法推导:想象一个质量为m的小质点的队列,互相余零用长度h的弹簧连接。弹簧的硬度为k,这里u(x)测量位于x的质点偏离平衡位置的距离。对于位于x+h的质点的运动方程,其中u(x)的时间依赖性变成显式的了。