2017-04-27 16:07:33

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几何|图形
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正多边形就是各边相等,各角也相等的多边形,直尺、圆规和量角器可以画出任意正多边形。

基本信息

  • 中文名

    正多边形

  • 外文名

    Regular polygon

折叠 编辑本段 概念

各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形(多边形:边数大于等于3)。 正多边形正多边形

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆。                                                                          正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心

正多边形的外接圆的半径叫做半径

边心距是指正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离。

正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等,这个圆心角叫做正多边形的 中心角                     在同一个圆中,等弧对等弦。

折叠 编辑本段 有关计算

折叠 内角

正n边形的内角和度数为:(n-2)×180度;

正n边形的一个内角是(n-2)×180°÷n.

折叠 外角

正n边形外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360°

所以正n边形的一个外角为:360÷n.

所以正n边形的一个内角也可以用这个公式:180°-360÷n.

折叠 中心角

任何一个正多边形,都可作一个外接圆,多边形的中心就是所作外接圆的圆心,所以每条边的中心角,实际上就是这条边所对的弧的圆心角,因此这个角就是360度÷边数。

正多边形中心角:360÷n

折叠 对角线

在一个正多边形中,所有的顶点可以与除了他相邻的两个顶点的其他顶点连线,就成了顶点数减2(2是那两个相邻的点)个三角形。而正多边形的顶点数与边数相同,所以用边数减2个三角形。三角形内角和:180度,所以把边数减2乘上180度,就是这个正多边形的内角和对角线

对角线数量的计算公式:n(n-3)÷2。

折叠 面积

设正n边形的半径为R,边长为an,中心角为αn,边心距为r n,则αn=360°÷n,an=2Rsin(180°÷n),r n=Rcos(180°÷n),R^2=r n^2+(an÷2)^2,周长pn=n×an,面积Sn=pn×rn÷2。

折叠 对称轴

正多边形的对称轴--

奇数边:连接一个顶点和顶点所对的边的中点,即为对称轴;

偶数边:连接相对的两个边的中点,或者连接相对称的两个顶点,都是对称轴。

正N边形边数为N

正N边形角数为N。

正N边形对称轴数都为N条(如三角形有奇数条边,N=3,有三条对称轴;正方形有偶数条边,N=4,有四条对称轴)

折叠 编辑本段 镶嵌规律

在正多边形中,只有三种能用来铺满一个平面而中间没有空隙,这就是正三角形、正方形正六边形。因为正三角形的每一个角等于60度,六个正三角形拼在一起时,在公共顶点上的六个角之和等于360度;正方形的每个角等于90度,所以四个正方形拼在一起时,在公共顶点上四个角的和也刚好等于360度;正六边形的每个角等于120度,三个正六边形拼在一起时,在公共顶点上的三个角之和也等于360度,如果用别的正多边形,就不能达到这个要求。例如正五边形的每只角等于108度,把三个正五边形拼在一起,在公共顶点上三个角之和是108度*3=324度,小于360度有空隙。而空隙处又放不下第四个正五边形,因为108度*4=432度,大于360度。

折叠 编辑本段 尺规作图

直尺、圆规和量角器可以画出任意正多边形。 但是在古希腊时,作图只使用没有刻度的直尺(unmarked ruler)和圆规(compass)。 用尺规作正偶边形如2n,3×2n,5×2n等正多边形并非难事。 但对正奇边形如3,5,7,9,11,13,15等的作图,在当时是件困难的事,而且并非全都可以作图成功。 1798年,德国数学家高斯只有19岁,他成功的以圆规直尺做出一个正十七边形,并证明了正多边形的边数只有是费马质数或不同的费马质数乘积才可以尺规作图出来,当高斯去世后,人们为了纪念这位伟大的数学家,在他的故乡(Brunschweig)的纪念碑上刻了这个正17边形。正多边形的绘制正多边形的绘制▲费马质数相关

费马质数是质数且形如F(n)=2^(2^n)+1,其中n是非负整数。

n=0,1,2,3,4

k=3,5,17,257,65537

当n=0,1,2,3,4时,都是质数,但一般猜测n>4时,都不是费马质数。由于我们现所知道只有五个费马质数存在,所以用圆规可以做出的正奇边形是3,5,17,257,65537,以及这五个数的两两相乘积。 如3×5,3×17,17×257等共31个。 而最大的正奇边形的边数是65537。边数小于100,可以尺规作图的正多边形如下:

3;4; 5; 6 ;8; 10 ;12 ;15 ;16;17 ;20 ;24 ;30 ;32 ;34; 40 ;48 ;51 ;60 ;64 ;68 ;80; 85; 96;

折叠 编辑本段 有关概念

折叠 正多边形的外接圆

正四边形外接圆正四边形外接圆

把圆分为n(n≥3)等份,依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n边

形,也就是正n边形的外接圆。

折叠 正多边形的内切圆

把圆分为m(m≥3)等份,经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正m边形,也就是正m边形的内切圆

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