法向量 免费编辑 添加义项名

​如果一个非零来自向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量

垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。一个平面都存在无数个法向量。

从理论上说映余容起据连婷年，空间零向量是任何平面的法向量，但是由于零向量不能表示平面的信息。一般不选择零向量为平面的法向量。法逐对波色未植会向量

如果已知直线与平面垂直，360百科可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线，可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量述屋求多便吸意终m(x,y,z)，然后寻找平面内任意两个不平行的向量AB(x1,y1染害办束更困整穿审销松,z1)和CD(x2,y2,z2)。由于平面法向量垂直于平面内所有的向量，因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*范交y2+z*z2=0。由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解，因为其它方程和上绝握胶钟上五述两个方程是等价的)，无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的)。为了得到确定法向量，可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量)，但是这步并不是必须的。因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的。

平面法向量的具体步骤：（待定系数法）

1、建立恰当的直角坐标系

2、设平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面内找批否所已出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3龙真进响少皮同） b=（b1，b2，b3）

4、根据法向量的定义就生南建立方程组①n·a=0 ②n·b=0

5、解方程组，取其中一组解裂乐承即可。

关于法向量微分几何的计算方式，这涉及到曲面的表示方式。通常曲面半比始自困冷的表示方式为：

1).隐函数：F(x,y,z)=0， 如平面x+y+z=0;

2).（参数化的）向量形式厚县传备：r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k. 因为曲面的维度为2，所以一般是两个参数u,v。比如：x+y+z=0 可表示为：朝宁货武袁苦每语族r(u,v)=ui+vj+(-u-v)k.

对应的，计算法向量的方式分别为：

1). grad(F). 即隐函数F(x,y,z)逐似神路青号燃压的梯度grad(F) 即为曲面章移危大前在点(x,y,z)处的法向量，也即，法向量为F(x,y,z)=C变化率最大的方向。

法向量的主要应用如下：

1、求斜线与平面所成的角（越景一般只求出正弦值即可）：求己马出平面法向量和斜线的一边，然后联立方程组，可以得到角度的余弦值，根据公式Sinα=|Cosα|。利用这个原理也可以证明线面平行；

2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角，这个角与二面角相等或互补；

3、点到面的距离： 任一斜线(缩算益边现苏管迫额平面上一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量，D为平面内任意一点，向量n为平面α的法向量)。利用这个原理也可以求影异面直线的距离

法向量方法是高考数学可以采用的方法之一，它的优点在于出息请杨压量思路简单，容易操作。只要能够建立出直角坐标系，都可以写出最后答案。缺点在于同一般立体几何方法相比，其计算量巨大，特别是在计算二面角的装时候。