2019-05-24 09:54:56

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雅可比行列式通常称为雅可比式(Jacobian)

它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式 。

事实上,在函数都连续可微(即偏导数都连续)的前提之下,它就是函数组的微分形式下的系数矩阵(即雅可比矩阵)的行列式。 若因变量对自变量连续可微,而自变量对新变量连续可微,则因变量也对新变量连续可微。这可用行列式的乘法法则和偏导数的连锁法则直接验证。也类似于导数的连锁法则。偏导数的连锁法则也有类似的公式;这常用于重积分的计算中。

如果在一个连通区域内雅可比行列式处处不为零,它就处处为正或者处处为负。如果雅可比行列式恒等于零,则函数组是函数相关的,其中至少有一个函数是其余函数的一个连续可微的函数。

基本信息

  • 中文名

    雅可比行列式

  • 外文名

    Jacobian

  • 别称

    雅可比式

  • 提出者

    雅可比

  • 应用学科

    高等数学

目录

折叠 编辑本段 正文

通常称为雅可比式(Jacobian)。它是以nn元函数

ui=ui(x1,x2,……,xn) (i=1,2,……n) (1)

的偏导数为元素的行列式

常记为

事实上,在(1)中函数都连续可微(即偏导数都连续)的前提之下,J就是函数组(1)的微分形式

雅可比行列式雅可比行列式

的系数矩阵(即雅可比矩阵)的行列式。

折叠 编辑本段 验证方式

若因变量u1,u2,…,un对自变量x1,x2,…,xn连续可微,而自变量x1,x2,…,xn对新变量r1,r2,…,rn连续可微,则因变量(u1,u2,…,un)也对新变量(r1,r2,…,rn)连续可微,并且

雅可比行列式雅可比行列式

这可用行列式的乘法法则和偏导数的连锁法则直接验证。而公式(3)也类似于导数的连锁法则。偏导数的连锁法则也有类似的公式;例如,当(uv)对(xyz)连续可微,而(xyz)对(r,s)连续可微时,便有

如果(3)中的r能回到u,,则

(3)

给出 。

这时必须有

(4)

于是以此为系数行列式的联立线性方程组 (2)中能够把(dx1,dx2,…,dxn)解出来,作为(du1,du2,…,dun)的函数。而根据隐函数存在定理,在(u1,u2,…,un)对(x1,x2,…,xn)连续可微的前提下,只须条件(4)便足以保证(x1,x2,…,xn)也对(u1,u2,…,un)连续可微,因而(4)必然成立。这样,连续可微函数组(1)便在雅可比行列式不等于零的条件(4)之下,在每一对相应点u=(u1,u2,…,un)与x =(x1,x2,…,xn)的邻近范围内建立起点与点之间的一个一对一的对应关系。

n=2的情形,以Δx1,Δx2为邻边的矩形(ΔR)对应到(u1,u2)平面上的一个曲边四边形(ΔS),其面积ΔS关于Δx1,Δx2的线性主要部分,即面积微分是

这常用于重积分的计算中。

如果在一个连通区域内雅可比行列式处处不为零,它就处处为正或者处处为负(其正负号标志着u-坐标系的旋转定向是否与x-坐标系的一致)。如果雅可比行列式恒等于零,则函数组(u1,u2,…,un)是函数相关的,其中至少有一个函数是其余函数的一个连续可微的函数。

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