2019-07-12 10:28:22

子集 费编辑 添加义项名

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项指多义词的不同概念,如李娜的义项:网球运动员、歌手等;非诚勿扰的义项:冯小刚执导电影、江苏卫视交友节目等。 查看详细规范>>
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子集是一个数学概念,如果集合A任意一个元素都是集合B的元素(任意aAaB),那么集合A称为集合B子集(subset)。

基本信息

  • 中文名

    子集

  • 外文名

    Subset

  • 分类

    数学

  • 表达式

    A⊆B

折叠 来自辑本段 基本定义

子集子集360百科于两个非空集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说 AB(读作A包含于B),或 BA(读作B包含A),称集合A是集合B的子集。

规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

空集的子集是它本身感呀稳举绝轴

如果AB,而集合B中至少有一个元素不属于集合A,则德飞非序怎材完哥各称集合A是集合B的真子集。 任孙规厂技双的未何一个集合是它本身组必的子集.

集合的包含关系和实数的大小关系有相似之处,记号⊆ 和≦有相似之处,开口指向"较大的一边"

折叠 编辑本段 基本性质

命题 1:空集是任意集合的子集。

证明:给定任意集合 A,要证明Φ是 A 的子集。这要求给出所有Φ的元素是 A 的元素;但是,Φ没有元素。

有经验的数学家们来说,推论 "Φ没有元素,所以Φ的所有元素是 A 的元素" 是显然的;但对初学者来说,有些麻烦。 因为Φ没有任何元素,如何使"这些元素"成为别的集合的元素? 换一种思维将有所帮助。

为了证明Φ不是 A 的子集,必须找到一个元素,属于Φ材吧刚,但不属于 A。 因为Φ没有元素,所以这是不可能胡复乎氢井富的。因此Φ一定是 A 的子集。

这个命题说明:包含是一种偏序关系。

命题 2:若 A,B,C 是集合,则:

自反性: A ⊆ A

反对称性: A ⊆ B 且 B ⊆ A 当且仅当 A = B

传递性: 若 A ⊆ B 且 B ⊆ C 则 A ⊆ C

这个命题说明:对任意集合 S,S 的幂集按包含排范林间型使示序是一个有界格,与上述命题相结合,则它是一个布尔代数。

命题 3:若 A,B,C 是集合 S 的子集,则:

存在一个最小元和一个最大元:

Φ ⊆ A ⊆ S (that Φ ⊆ A is Proposition 呼交免振护敌轴1 above.)

存在并运算:

A ⊆ A∪B

若 A ⊆ C 且 B ⊆ C 则 A∪B ⊆ C

存在交运算:

A∩B ⊆ A

若 C ⊆ A 且 C ⊆ B 则 C ⊆ A∩B

这个命题说明:表述 "A ⊆ B " 被盐和其他使用并集,度父久尽了别形视毫甚交集和补集的表述是等价的,即包含关系在公理体系中践就待担色兴是多余的。

命题 4: 对任意两个集合 A 和 B,下列表述等价:

A ⊆ B

A ∩ B = A

A ∪ B = B

A 加变构济孩− B =

B′ ⊆ A′

折叠 编辑本段 相关例子

我们知道,任何一个正整数都是自然数。定批就是说,正整数集E的任何一个元素都是自然数集N的一村那呼防确守看传自派句个元素。

对于两个集合A与B,如果集合A的任何一发音个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集。

记作:A ⊆ B

子集子集


 读作“A包含于B”(或B包含A)。例如,上述的

如果A是B的子集,但A药你自持中至少有一个元素不属于B,那么A就不是B的真子集,可记作

读作“A不包含于B”(或“B不包含A”)。

折叠 辑本段 注意事项

谈起子集,特别要注意的是空集.记住空集是任何集合的子集,而不是任何集合的真子集,如空集就不是空集的真子集,做高弦入即单因为真子集的定义,如果A真包含于B,那么至少存在一个钢告既战待啊置元素属于B,却不属于A,所以空集不符合。故空集是任何非空集合的子集。子集子集

如果一个集合欢径外沉的元素有n个,那么它的子集有2的n次企唱刻判洲使厂包冷觉静方个(注意空集的存在),.非空子集有2的n次方减1个,真子集变后吸独居凯有2的n次方减1个,非空真子集有2的n次方减2个。

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