2021-12-16 10:12:06

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行列式在数学中,是一个函数,其定义域为det的矩阵A,取值为一个标量,写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说,在 n 维欧几里得空间中,行列式描述的是一个线性变换对"体积"所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中(比如说换元积分法中),行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用。

基本信息

  • 中文名称

    行列式

  • 外文名称

    determinant(英文)déterminant(法文)

  • 应用学科

    线性代数

  • 适用领域范围

    数学、物理学

目录

折叠 编辑本段 定义

行列式在数学中,是由解线性方程组产生的一种算式,是取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和。

其中,τ(j1j2...jn)为排列j1j2...jn的逆序数。

举例:

对于二阶行列式:

|a b|

|c d|=ad-bc

详细可以参见二阶行列式

对于三阶行列式:

| a b c |

| x1 x2 x3 |

| y1 y2 y3 |

结果可以写为:a*(x2*y3-x3*y2)-b*(x1*y3-x3*y1)+c*(x1*y2-x2*y1)

即:a*x2*y3-a*x3*y2-b*x1*y3+b*x3*y1+c*x1*y2-c*x2*y1

详细可以参见三阶行列式

以此类推,对于任意阶行列式,都可以改写为第一行某一元素与从第二行起的某一个n-1阶行列式的积,以此不断递推,直到分为某项与二阶行列式的积,然后再自此回溯最终可得解。

详细可以参见n阶行列式

折叠 编辑本段 性质

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和,这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn;另一个是с1,с2,…,сn;其余各行(或列)上的元与|αij|的完全一样。

④行列式A中两行(或列)互换,其结果等于-A。 ⑤把行列式A的某行(或列)中各元同乘一数后加到另一行(或列)中各对应元上,结果仍然是A。

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