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2019-11-05 16:34:06

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自然对数是以常数e为底数的对数,记作lnN(N>0)。在物理学,生物学等自然科学中有重要的意义,一般表示方法为lnx。数学中也常见以logx表示自然对数。

基本信息

  • 中文名

    自然对数

  • 外文名

    Natural logarithm

  • 所属学科

    数学

  • 含义

    自然对数以常数e为底数的对数

  • 取值

    约2.7182818284

折叠 编辑本段 概念定义

以常数e为底数的对数叫做自然对数记作ln N(N>0).

欧拉(L360百科eonhard Euler ,1707-1783)  著名的数学家,瑞士人,大部分时间在俄国和法国度过.他17岁获得硕士学位,早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学,毕业后研究数学,是学史上最高产的作家.在世发表论文700多篇,去世后还留下100多篇待发表.其论著几乎涉及所有数学分办卫织响室胜心损倒展岁支.  著名的七座桥问题也是他解决的。  他是创数学符号的大师。首先使用f(x)表示函数,首先用∑表示连加,首先用i表示虚数单位.1727年首先引用e来表示自然对数的底。  欧拉公式有两个  一个是关于多面体的  如凸多面体面数是F顶点数是V棱数是E则V-E+F=2这个2就称欧拉示性数。  另一个是关于级数展开的  e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x). 这里i是虚数单位i的平方=-1。自然对数预相创陆议然对数

折叠 编辑本段 第二定义

它的含义是单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值

折叠 编辑本段 有关概念

自然对数的底数e是由一个重要极限给出的.我们定季夜决都小状图战表义:当x趋于无限时,lim(1+1/x)^x=e.

e是一留身检弱个无限不循环小数,其值约等于2.718281828…,它是一个超越数.

对数手触函数

当自然对数ln N中真数为连续自变量时,称为对数函数,记作y=In x(x为自变量,y为因变量).

e的级数展开式

易证明:函数f(x)=e^x展开为x的幂级数(Maclaurin级数)是

f(x)=e^x=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3船哥素故!+…+(x^n)/n!+…;

决粮满站如识特别地,当x=1时就得到了e的展开式

e=1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!+….

历史

e在科学技术中用得非常多,一般不使用以10为底数的对数。以e为底数,许多式子都能得到简化,用它是最“自然”的,所以叫“自然对数”。

我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”。以前人们做乘法就用乘法,很麻烦,发明了对数这个工具后,乘法可以化成加法,即:log(ab) = loga + logb.

但是能够这么胡的学让限安微货集曲做的前提是,我要有一张对数表,能够知道loga和logb是多少,然后求和,能够知道log多少等于这个和。虽然编对数表很麻烦,但是编好了就是一劳永逸的事情,因此有个大数学家开始编对数表。但他遇到了一个麻烦创亚升富才甚食,就是这个对数表取多少作为底数最合适?10吗?或是2?为了决定这个底数,他做了如下考虑:

1.所有乘数/被乘数都可以化到0-1之内的数乘以一个10的几次方,这个用科学记数法就行了。

2.那么现在只考虑做一个0-1之间的数的对数表了,那么我们自然用一个0-1之间的数做底数(如果用大于1的数做底数,那么取完对数就是负数,不好看)。

3.这个0-1间的底数不能太小,比如0.1就太小了,这会导致很多数的对数都是零点几;而且“相差很大的两个数的对数值却相差很小”,比如0.1做底数时,两个数相差10倍时,对数值才相差1.换句话说,像0余真百着书厚.5和0.55这种相差不大的设句送态讨吧半数,如果用0.1做底数,那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们的烧印西希用春延对数的差别。

4.为了避免这种缺点,底数一定要接近于1,比如0.99就很好,0.9999就更好了。总的来说就是1 - 1/X ,X越大越好。在选了一个足够大的X(X越大,对数表越精确,但是算出这个对数表就越复杂)后,你就可以算

(1-1/X)^1 = P1 ,

(1-1/X)^2 = P2 ,

……

那么对数表上就可以写上P1 的对数值是1,P2的对数值是 2……(以1-1/X作体度松刚位矛至及牛期为底数)。而且如果X很大,那么P1,P2,概类P3……间都靠得很紧,基本报神毛品七句创军顶达企可以满足均匀地覆盖了0形越酒社查.1-1之间的区间。

5.最后他再调整了一下,用(1- 1/X)^ X作为底,这样P1的对数值就是1/X,P2的对数值就是2二村告相而/ X,……PX的对数值就是门较氧基木她1,这样不至于让一些对数值变得太大,比如若X=10000,有些数的对数值就要到几万,这样调整之后,各个数的对数值基本在0-1之间。两个值之间影划政抓服冲序读史充济最小的差为1/X。

6.现在让对数表更精确,那么X就要更大,数学家算了维确粉很多次,1000,1万,十万,最后他发现,X变大时,这个底数(1 - 1/X)^ X趋近于一个值。这个值就是1/e,自然对数底的倒数越为(虽然那个时候还没有给它取名字)。其实如果我们第一步不是把所有值放缩到溶投0.1-1之间,而是放缩到1-10之间,那么同样的讨论,最后的出来的结果就是e了--- 这个大数学家就是著名的欧拉(Euler),自然对数的名字e也就来源于欧拉抗所广尼皮的姓名。

当然后来诗意力数学家对这个数做了无数研究,发现其各种神奇之处,出现在对数表中并非偶然,而是相当自然或必然的。因此就叫它自然对数底了。

自然律螺线

涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式,比如:一缕袅袅升上蓝庆钟宽天的炊烟,一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪,数只缓缓攀济早往比兴民防援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着根办距助旋舞的繁星……螺线表达自然律组因向再查夫。螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数展陈志同争的形式来表达:φkρ=αe.其中,α和k为常数,φ是极角,ρ是极径,e是自然对数制击均汽将针的底。为了讨论方便,我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此,“自然律”的核心是e,其初县布按值为2.71828……,是一个无限不循环数。

自然律之美

“自然律”是e 及由e经过一定变换和复合的形式。e编望心及夫处待部慢听攻是“自然律”的精髓,在数学上它是函数:(季吧室创杨由简1+1/x)^x

当X趋近无穷时的极限。人们在研究一些实际问题,如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时,都要研究(1+1/x)^x ,当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限,从两个相反方向发展(当X趋向正无穷大的时,上式的极限等于e=2.71828……,当X趋向负无穷大时候,上式的结果也等于e=2.7182政顶核富准而吗飞决石8……)得来的共同形式,充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。

渊源及发展

1.宇宙与生命

现代宇宙学表明,宇宙起源于“大爆炸”皮远负沙原头,而且目前还在膨胀,这种描述与十九世纪后半叶的两个伟大发现之一的熵定律,热力学第二定律相吻合。熵定律指出,物质的演化总是朝着消灭信煤社息、瓦解秩序的方向,逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。退化的极限就是无序的平衡,即熵最大的状态,一种无为的死寂状态。这过程看起来像什么?只要我们看看天体照相中的计倍哪道州极初技等境拿旋涡星系的照片即不难理解。如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因,那么,可以把染双八巴低修宇宙看成是由各个预先上紧的发害打秋德丝江铁走己迅渐条组织,或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条,历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量掌测的己渐的过程。

生命体的进化却环二战物被黑程风角与之有相反的特点,它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同,它使生命物质能避免趋向与环境衰退。任何生命都是耗散结构系统,它之所以能免于趋近最大照钟八运凯统想来散的熵的死亡状态,就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢展够的过程从环境中不断需点音吸取负熵。新陈代谢中本质的东西,乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵。

2.自然律的价值

“自然律”一方面体现了自然系统刻敌场足护陆响所往朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程(如元素的衰变),另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展(如细胞繁殖)的本质。正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点,“自然律”才在美学上有重要价值。

如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态,那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。因此,大漠使人感到肃穆、苍茫,令人沉思,让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷;而草原则使人兴奋、雀跃,让人感到生命的欢乐和幸福。

3.自然律的表达

e=2.71828……是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种:(1)对数螺线;(2)阿基米德螺线;(3)连锁螺线;(4)双曲螺线;(5)回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在,其它螺线也与对数螺线有一定的关系,不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的,后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它,发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线,极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线,等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止,竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。

4.螺线的哲学

英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到:旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心,都是美的形状。事实上,我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。为什么我们的感觉、我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢?这难道不意味着我们的精神,我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗?

我们知道,作为生命现象的基础物质蛋白质,在生命物体内参与着生命过程的整个工作,它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷,是同其结构紧密相关的。化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的,决定遗传的物质——核酸结构也是螺旋状的。

古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器,当它的琴弦在风中振动时,能产生优美悦耳的音调。这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。让人深思的是,人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状。这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗?还有我们的指纹、发旋等等,这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应,也就是“内在”与“外在”和谐的自然基础。

有人说数学美是“一”的光辉,它具有尽可能多的变换群作用下的不变性,也即是拥有自然普通规律的表现,是“多”与“一”的统一,那么“自然律”也同样闪烁着“一”的光辉。谁能说清e=2.71828……给数学家带来多少方便和成功?人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦率,欣赏曲线的优美、变化与含蓄,殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分来组成。有人说美是主体和客体的同一,是内在精神世界同外在物质世界的统一,那么“自然律”也同样有这种统一。人类的认识是按否定之否定规律发展的,社会、自然的历史也遵循着这种辩证发展规律,是什么给予这种形式以生动形象的表达呢?螺线!

5.自然律的哲学有人说美在于事物的节奏,“自然律”也具有这种节奏;有人说美是动态的平衡、变化中的永恒,那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒;有人说美在于事物的力动结构,那么“自然律”也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的弹簧等等。

“自然律”是形式因与动力因的统一,是事物的形象显现,也是具象和抽象的共同表达。有限的生命植根于无限的自然之中,生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节奏……有机的和无机的,内在的和外在的,社会的和自然的,一切都合而为一。这就是“自然律”揭示的全部美学奥秘吗?不!“自然律”永远具有不能穷尽的美学内涵,因为它象征着广袤深邃的大自然。正因为如此,它才吸引并且值得人们进行不懈的探索,从而显示人类不断进化的本质力量。(原载《科学之春》杂志1984年第4期,原题为:《自然律——美学家和艺术家的瑰宝》)

近似值

用计算机可以计算出e的近似值,如下:

0~500

e=2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995

95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274

27466 39193 20030 59921 8174135966 29043 57290 03342 95260

59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901

15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680

82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069

55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760

67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416

92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696

77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312

500~1000

77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825

28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117

30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429

53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509

96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422

87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496

84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418

49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016

76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051

01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354

1000后

02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51930 33224

74501 58539 04730 41995 77770 93503 66041 69973 29725 08868

76966 40355 57071 62268 44716 25607 98826 51787 13419 51246

65201 03059 21236 67719 43252 78675 39855 89448 96970 96409

75459 18569 56380 23637 01621 12047 74272 28364 89613 42251

64450 78182 44235 29486 36372 14174 02388 93441 24796 35743

70263 75529 44483 37998 01612 54922 78509 25778 25620 92622

64832 62779 33386 56648 16277 25164 01910 59004 91644 99828

93150 56604 72580 27786 31864 15519 56532 44258 69829 46959

30801 91529 87211 72556 34754 63964 47910 14590 40905 86298

49679 12874 06870 50489 58586 71747 98546 67757 57320 56812

88459 20541 33405 39220 00113 78630 09455 60688 16674 00169

84205 58040 33637 95376 45203 04024 32256 61352 78369 51177

88386 38744 39662 53224 98506 54995 88623 42818 99707 73327

61717 83928 03494 65014 34558 89707 19425 86398 77275 47109

62953 74152 11151 36835 06275 26023 26484 72870 39207 64310

05958 41166 12054 52970 30236 47254 92966 69381 15137 32275

36450 98889 03136 02057 24817 65851 18063 03644 28123 14965

50704 75102 54465 01172 72115 55194 86685 08003 68532 28183

15219 60037 35625 27944 95158 28418 82947 87610 85263 98139

55990 06737 64829 22443 75287 18462 45780 36192 98197 13991

47564 48826 26039 03381 44182 32625 15097 48279 87779 96437

30899 70388 86778 22713 83605 77297 88241 25611 90717 66394

65070 63304 52795 46618 55096 66618 56647 09711 34447 40160

70462 62156 80717 48187 78443 71436 98821 85596 70959 10259

68620 02353 71858 87485 69652 20005 03117 34392 07321 13908

03293 63447 97273 55955 27734 90717 83793 42163 70120 50054

51326 38354 40001 86323 99149 07054 79778 05669 78533 58048

96690 62951 19432 47309 95876 55236 81285 90413 83241 16072

26029 98330 53537 08761 38939 63917 79574 54016 13722 36187

89365 26053 81558 41587 18692 55386 06164 77983 40254 35128

43961 29460 35291 33259 42794 90433 72990 85731 58029 09586

31382 68329 14771 16396 33709 24003 16894 58636 06064 58459

25126 99465 57248 39186 56420 97526 85082 30754 42545 99376

91704 19777 80085 36273 09417 10163 43490 76964 23722 29435

23661 25572 50881 47792 23151 97477 80605 69672 53801 71807

76360 34624 59278 77846 58506 56050 78084 42115 29697 52189

08740 19660 90665 18035 16501 79250 46195 01366 58543 66327

12549 63990 85491 44200 01457 47608 19302 21206 60243 30096

41270 48943 90397 17719 51806 99086 99860 66365 83232 27870

93765 02260 14929 10115 17177 63594 46020 23249 30028 04018

67723 91028 80978 66605 65118 32600 43688 50881 71572 38669

84224 22010 24950 55188 16948 03221 00251 54264 94639 81287

36776 58927 68816 35983 12477 88652 01411 74110 91360 11649

95076 62907 79436 46005 85194 19985 60162 64790 76153 21038

72755 71269 92518 27568 79893 02761 76114 61625 49356 49590

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75833 33793 99075 21660 69238 05336 98879 56513 72855 93883

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41681 00387 23892 14483 17607 01166 84503 88721 23643 67043

31409 11557 33280 18297 79887 36590 91665 96124 02021 77855

88548 76176 16198 93707 94380 05666 33648 84365 08914 48055

71039 76521 46960 27662 58359 90519 87042 30017 94655 36788 ......

复数类型

问题:求复数a+bi的自然对数

解答:把复数a+bi写成指数形式,也就是re^(iθ)。

(r为复数a+bi的模,即r=√(a^2+b^2),θ为复数a+bi的辐角主值)

a+bi=re^(iθ)

我们注意到:r=e^ln(r)。如:2=e^ln(2)等。

所以re^(iθ)=e^ln(r)·e^(iθ)=e^(ln(r)+iθ)

即a+bi=e^(ln(r)+iθ)

而根据自然对数的定义,若x=e^n,那么ln(x)=n

所以ln(a+bi)=ln(r)+iθ

例:求ln(-1)

这里r=1(实数的模就是实数的绝对值,|-1|=1),θ=π(-1的辐角主值是180°,即π弧度)。

代入,ln(-1)=ln(1)+πi=πi

实际上,ln(-1)=πi,可根据自然对数的定义推出e^(πi)=-1,移项,得e^(πi)+1=0。这就是最美的公式。

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