2014-10-12 11:32:33

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Inverse of the trigonometric functions  (反三角函数)是一种数学术语,为限制反三角函数为单值函数。反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数,是个多值函数。它是反正弦Arcsin x,反余弦Arccos x,反正切Arctan x,反余切Arccot x这些函数的统称,各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。

基本信息

  • 中文名

    反三角函数

  • 外文名

    Inverse of the trigonometric functions

  • 分类

    反正弦,反余弦,反正切,反余切

  • 函数等级

    初等

目录

折叠 编辑本段 英文名称

Inverse of the trigonometric functions  (反三角函数)反三角函数反三角函数

数学术语

为限制反三角函数单值函数,将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2,将y作为反正弦函数的主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2;反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。

反三角函数实际上并不能叫做函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求,其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出,并且首先使用了【arc+函数名】的形式表示反三角函数,而不是f-1(x)。

⑴正弦函数y=sin x在[-π/2,π/2]上的反函数,叫做反正弦函数。arcsin x表示一个正弦值为x的角,该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。【图中红线】

⑵余弦函数y=cos x在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函数。arccos x表示一个余弦值为x的角,该角的范围在[0,π]区间内。【图中蓝线】

⑶正切函数y=tan x在(-π/2,π/2)上的反函数,叫做反正切函数。arctan x表示一个正切值为x的角,该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。【图中绿线】

注释:【图的画法根据反函数的性质即:反函数图像关于y=x对称】

反三角函数主要是三个:

y=arcsin(x),定义域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]图象用深红色线条;

y=arccos(x),定义域[-1,1] , 值域[0,π],图象用深蓝色线条;

y=arctan(x),定义域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2),图象用浅绿色线条;

y=arccot(x),定义域(-∞,+∞),值域(0,π),暂无图象;

sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx

证明方法如下:设arcsin(x)=y,则sin(y)=x,将这两个式子代入上式即可得

其他几个用类似方法可得

cos(arccos x)=x,arccos(-x)=π-arccos x

tan(arctan x)=x,arctan(-x)=-arctanx

折叠 编辑本段 公式

反三角函数其他公式:

cos(arcsinx)=√(1-x^2)

arcsin(-x)=-arcsinx

arccos(-x)=π-arccosx

arctan(-x)=-arctanx

arccot(-x)=π-arccotx

arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x

arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+……(|x|<1) !!表示双阶乘

arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……)(|x|<1)

arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……

举例

当 x∈[-π/2,π/2] 有arcsin(sinx)=x

x∈[0,π], arccos(cosx)=x

x∈(-π/2,π/2), arctan(tanx)=x

x∈(0,π), arccot(cotx)=x

x>0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似

若 (arctanx+arctany)∈(-π/2,π/2),则 arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy))

例如,arcsinχ表示角α,满足α∈[-π/2,π/2]且sinα=χ;arccos(-4/5)表示角β,满足β∈[0,π]且cosβ=-4/5;arctan2表示角φ,满足φ∈(-π/2,π/2)且tanφ=2

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