2022-01-19 12:37:05

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图形|几何
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中心对称:在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形与另一个图形重合,那么就说明这两个图形的形状

关于这个点成中心对称(Central of symmetry graph),这个点叫做它的对称中心(Center of symmetry)旋转180°后重合的两个点叫做对称点(corresponding points)

中心对称图形:在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心.

基本信息

  • 中文名

    中心对称图形

  • 外文名

    Center symmetric figure

折叠 编辑本段 定义

在平面内,如果把一个图形绕某个点旋转180°后,能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点成中心对称(Central of symmetry graph),这个点叫做它的对称中心(Center of symmetry),旋转180°后重合的两个点叫做对应点(corresponding points)。中心对称图形中心对称图形

折叠 编辑本段 性质

①对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段且使中心对称图形的面积被平分(对称点在中心对称图形中)。

②成中心对称的两个图形全等,相反全等的两个图形对称中心相等

③中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分。

区分:中心对称是两个图形间的位置关系,而中心对称图形是一种具有独特特征的图形

折叠 编辑本段 常见图形

常见的中心对称图形有:线段,矩形菱形,正方形,平行四边形,圆,边数为偶数的正多边形,某些不规则图形等。

正偶边形是中心对称图形

正奇数边形不是中心对称图形

※正六角形是中心对称图形,等腰梯形不是中心对称图形,等边三角形(正三角形),至少需旋转120度,而不是180度,所以它不是中心对称图形。反比例函数的图像双曲线是以原点为对称中心的中心对称图形

折叠 编辑本段 对称图形

定义

在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心.

旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点.

理解中心对称的定义要抓住以下三个要素:

(1)有一个对称中心——点;

(2)图形绕中心旋转180°;

(3)旋转后两图形重合.

2、中心对称的性质

连接中心对称图形上每一对对称点的线段都经过对称中心,且被对称中心平分.

3、中心对称

在平面内,把一个图形绕某一定点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点成中心对称,这个点叫做对称中心,旋转后两个图形上能够重合的点叫做关于对称中心的对称点.

如图,△ABC绕着点O旋转180°,和△A′B′C′能够完全重合,则这两个三角形关于点O对称,点O叫对称中心,A与A′,B与B′,C与C′叫关于O的对称点.

注意:(1)中心对称是指两个图形的关系,成中心对称的两个图形只有一个对称中心,并且一个图形上的所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上,反过来,另一个图形上的所有点关于这个中心的对称点都在这个图形上;

(2)中心对称与中心对称图形之间的关系

区别:①中心对称是指两个图形的关系,中心对称图形是指具有某种性质的图形.

②成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上,中心对称图形的对称点在一个图形上.

联系:若把中心对称图形的两部分看成两个图形,则它们成中心对称;若把中心对称的两个图形看成一个整体,那么这个整体也就是中心对称图形.

4、中心对称的特征及识别方法

(1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分;

(2)关于中心对称的两个图形是全等形;

(3)如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点,并且被该点平分,那么这两个图形关于这点成中心对称;

(4)中心对称的特征揭示了其图形的特征. 如上图所示,如果△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称,则:①A,O,A′;B,O,B′;C,O,C′均三点共线,且OA=OA′,OB=OB′,OC=OC′;②△ABC≌△A′B′C′;

(5)如果已知△ABC与△A′B′C′关于某点成中心对称,则点O必为AA′、BB′、CC′的中点,且它们是同一点,故也可以连结AA′、BB′,则其交点即为对称中心.

5、关于原点对称的点的坐标

两个点关于原点对称时,它们的坐标符相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P′(-x,-y).

理解关于原点对称的点的坐标的特征时,要结合图形理解记忆,要善于将点的位置关系转化为点的坐标的数量关系或将点的坐标的数量关系转化为点的位置关系.

折叠 编辑本段 正多边形和圆

一、考点突破

1. 理解正多边形和圆的有关概念;

2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系,能进行正多边形的有关计算;

3. 通过等分圆周的方法,体会正多边形与圆的关系,会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形。

二、重难点提示

重点:正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系。

难点:理解正多边形与圆的关系,利用正多边形与圆的关系解决相关问题。

一、正多边形的定义

各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形,如正三角形(即等边三角形)、正四边形(即正方形)、正五边形、正六边形、正n边形等。

二、正多边形的有关概念

(1)正多边形的中心:正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心。

(2)正多边形的半径:正多边形外接圆的半径。

(3) 正多边形的边心距:中心到正多边形的一边的距离(即正多边形的内切圆的半径)。

(4)正多边形的中心角:正多边形每一边所对的圆心角.正多边形的每一个中心角的度数是。

【核心突破】

(1)从圆的角度看:等分圆周可获得正多边形,把圆分成n(n≥3)等份。

①依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。

②经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

(2)从正多边形的角度看:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆。

【核心归纳】

一些特殊正多边形的计算公式:

边数n

内角An

中心角αn

半径R

边长an

边心距rn

周长Pn

面积Sn

3

60°

120°

R

R

R

3R

R2

4

90°

90°

R

R

R

4R

2R2

6

120°

60°

R

R

R

6R

R2

【重要提示】

正n边形的对称性:当n为奇数时,正n边形只是轴对称图形;当n为偶数时,正n边形既是轴对称图形,也是中心对称图形。

例题1如图所示,在⊙O中,OA=AB,OC⊥AB,交⊙O于点C,那么下列结论错误的是()

A. ∠BAC=30°

B. 弧AC等于弧BC

C. 线段OB的长等于圆内接正六边形的半径

D. 弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长

思路分析:根据正多边形的性质和圆的相关概念对四个选项逐一进行分析。

答案:∵OA=OB,OA=AB,∴OA=BA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=60°,A. 根据圆周角定理得:∠BAC=∠BOC=∠BAO=×60°=15°,故本选项结论错误;B. ∵OC⊥AB,OC为半径,∴弧AC=弧BC,故本选项结论正确;C. ∵△ABO为等边三角形,∠AOB=60°,以AB为一边可构成正六边形,故本选项结论正确;D. 因为OC⊥AB,根据垂径定理可知,弧AC=弧BC,再根据A中结论,弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长,故本选项结论正确;故选A。

技巧点拨:本题主要考查正多边形和圆的计算问题,属于常规题,要注意圆周角定理的应用。

例题2如图所示,已知正五边形ABCDE,AF∥CD交DB的延长线于点F,交DE的延长线于点G。

(1)写出图中所有的等腰三角形;

(2)求证:∠G=2∠F。

思路分析:(1)利用等腰三角形的性质以及正五边形的性质得出各角度进而得出答案;

(2)先求∠G与∠F的度数,再得出它们之间的关系。

答案:(1)∵DC=BC,∴△CDB是等腰三角形,∵∠C=108°,∴∠1=∠CBD=36°,∵AF∥CD,∴∠F=∠1=36°,可得四边形DEAB是等腰梯形,∴∠DBA=∠2=72°,∴∠F=∠BAF=36°,∴△BAF是等腰三角形,进而可得:∠GEA=∠G=∠2=72°,∴△FDG,△AEG是等腰三角形,故等腰三角形有:△BCD,△ABF,△FDG,△AEG。

(2)由(1)可知∠F=36°,∠G=72°,故∠G=2∠F。

技巧点拨:本题主要考查了等腰三角形的性质与判定以及正五边形的性质等知识,得出各角度数是解题关键。

例题3某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时,有如下探讨:

甲同学:我发现这种多边形不一定是正多边形,如圆内接矩形不一定是正方形。

乙同学:我知道,边数为3时,它是正三角形;我想,边数为5时,它可能也是正五边形……

丙同学:我发现边数为6时,它也不一定是正六边形。如图2所示,△ABC是正三角形,弧AD、弧BE、弧CF均相等,这样构造的六边形ADBECF不是正六边形。

(1)如图1,若圆内接五边形ABCDE的各内角均相等,则∠ABC=__________,请简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由。

(2)如图2,请证明丙同学构造的六边形各内角相等。

(3)根据以上探索过程,就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n(n≥3,n为整数)”的关系,提出你的猜想(不需证明)。

思路分析:(1)先根据多边形内角和定理求出正五边形的内角和,再求出各角的度数;根据各角度数证明各边之间的关系即可;(2)由图知∠AFC对,由=,而∠DAF对的=+=+=,故可得出∠AFC=∠DAF,同理可证其余各角都等于∠AFC,由此即可得出结论;(3)根据(1)、(2)的证明即可得出结论。

答案:(1)∵五边形的内角和=(5-2)×180°=540°,∴∠ABC==108°,理由:∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E,∠A对着,∠B对着,∴=,∴-=-,即=,∴BC=AE,同理可证其余各边都相等,∴五边形ABCDE是正五边形。

(2)由图知∠AFC对,而∠DAF对,∵=,∴+=+,即=,∴∠AFC=∠DAF.同理可证其余各角都等于∠AFC,故图2中六边形各角相等。

(3)由(1)、(2)可知,当n(n≥3,n为整数)是奇数时,各内角都相等的圆内接多边形是正多边形;当n(n≥3,n为整数)是偶数时,各内角都相等的圆内接多边形不一定为正多边形。

技巧点拨:本题考查的是正多边形和圆,熟知弧、圆心角、弦的关系是解答本题的关键。

【方法提炼】

1. 求中心角的常用方法:正n边形的中心角为,与正n边形的一个外角相等,与正n边形的一个内角互补。

2. 正多边形的外接圆半径R与边长a、边心距r之间的关系式为R2=r2+(a)2,这是把正n边形分成了2n个全等的直角三角形,把正n边形的有关计算转化为直角三角形中的问题。

满分训练:

例:正多边形的一个外角等于45°,那么这个正多边形的内角和等于__________,中心角是__________。

解:n×45°=360°,∴n=8。由内角和公式得(8-2)·180°=1080°,∴中心角为=45°。

(答题时间:30分钟)

1. 如图,边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图),则=(    )

A. 3B. 4C. 5D. 6

2. 阅读理解:如图1,在平面内选一定点O,引一条有方向的射线Ox,再选定一个单位长度,那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定,有序数对(θ,m)称为M点的“极坐标”,这样建立的坐标系称为“极坐标系”。应用:在图2的极坐标系下,如果正六边形的边长为2,有一边OA在射线Ox上,则正六边形的顶点C的极坐标应记为(   )

A. (60°,4)B. (45°,4)C. (60°,2)D. (50°,2)

*3. 用折纸的方法,可直接剪出一个正五边形(如图所示)。方法是:拿一张长方形纸对折,折痕为AB,以AB的中点O为顶点将平角五等分,并沿五等分的线折叠,再沿CD剪开,使展开后的图形为正五边形,则∠OCD等于(    )

A. 108°B. 90°C. 72°D. 60°

4. 如图,若干全等正五边形排成环状。图中所示的是前3个五边形,要完成这一圆环还需__________个五边形。

**5. 如图,在正八边形ABCDEFGH中,四边形BCFG的面积为20cm2,则正八边形的面积为__________cm2。

6. 在学习圆与正多边形时,马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法:

(1)如图,作直径AD;

(2)作半径OD的垂直平分线,交⊙O于B,C两点;

(3)连接AB、AC、BC,那么△ABC为所求的三角形。

请你判断两位同学的做法是否正确,如果正确,请你按照两位同学设计的画法,画出△ABC,然后给出△ABC是等边三角形的证明过程;如果不正确,请说明理由。

*7. 如图(1)、(2)、(3)、…、(n),M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点,且BM=CN,连接OM、ON。

(1)求图(1)中∠MON的度数;

(2)图(2)中∠MON的度数是__________,图(3)中∠MON的度数是__________;

(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)。

1. C  解析:如图,显然图中两个空白直角三角形全等,把两个空白三角形拼成一个边长为a的等边三角形,而正六边形可分成六个如△AOB一样边长为a的等边三角形,所以==5。

2. A  解析:如图,设正六边形的中心为D,连接AD,∵∠ADO=360°÷6=60°,OD=AD,∴△AOD是等边三角形,∴OD=OA=2,∠AOD=60°,∴OC=2OD=2×2=4,∴正六边形的顶点C的极坐标应记为(60°,4)。故选A。

*3. B  解析:这里的O点是所剪正五边形的中心,由题可知∠COD=36°,所以剪得的三角形正好是五边形一边和两条半径所构成的三角形的一半,所以∠OCD=90°。

4. 7  解析:延长正五边形的相邻两边,交于圆心,∵正五边形的外角等于360°÷5=72°,∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为:180°-72°-72°=36°,∴360°÷36°=10,

∴排成圆环需要10个正五边形,故还需7个五边形。

**5. 40  解析:连接HE,AD,在正八边形ABCDEFGH中,可得:HE⊥BG于点M,AD⊥BG于点N,∵正八边形每个内角为:=135°,∴∠HGM=45°,∴MH=MG,设MH=MG=x,则HG=AH=AB=GF=x,∴BG×GF=2(+1)x2=20,四边形ABGH面积=(AH+BG)×HM=(+1)x2=10,∴正八边形的面积为:10×2+20=40(cm2)。

6. 解:两位同学的方法正确。连接BO、CO,∵BC垂直平分OD,∴直角△OEB中,OE=OB,∴∠BOE=60°,由垂径定理得∠COE=∠BOE=60°,由于AD为直径,∴∠AOB=∠AOC=120°,∴AB=BC=CA,即△ABC为等边三角形。

*7. 解:(1)连接OB、OC,∵正△ABC内接于⊙O,∴∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°,又∵BM=CN,OB=OC,∴△OBM≌△OCN,∴∠BOM=∠CON,∴∠MON=∠BOC=120°;(2)图(2)中,∠MON==90°,图(3)中,∠MON==72°;(3)图(n)中,∠MON=。

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