元素 - 数学概念 免费编辑 修改义项名

集合是数学的基本概念之一，具有某种特定属性的事物的全体称为"集"，而元素就是组成集的每个事物。

研究集的运算及其性质的数学分支叫做集论或集合论集合的定义很广，不仅限于数学，在生产生活中对于集合的使用也是很广泛的，而组成特定集合的具有特定属性的事物全部都可以称做元素，所以元素的定义也很广泛。

某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

集合中的元素有多种特性，下面一一进行说明。

对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

例:"大于1的实数"可以构成一个集合

任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

集合中的元素是平等的，没有先后顺序。因此判定两个集合是否相同，只需要比较他们的元素是否一样，不需考察排列顺序是否一样。

如:{a,b,c}={a,c,b}

集合的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

符合条件的元素均在集合中。

如:所有大于0且小于1的实数都在集合(0,1)中。

集合中的所有元素均符合条件。

如:集合(0,1)中的所有元素为均大于0且小于1的实数。

元素a与一个给定的集合A只有两种可能:

1、a属于集合A，表述为a是集合A的元素，记作a∈A

2、a不属于集合A，表述为a不是集合A的元素，记作a∉A

把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为其元素，假设令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，则有:P={A∣A∈A} ，Q={A∣A∉A} 。

问题:Q∈P 还是 Q∉P?

若Q∈P，则根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，而Q中的任何集合都有A∉A的性质，因为Q∈Q，所以Q∉Q，引出矛盾。

若Q∉P，根据第一类集合的定义，A∈A，所以Q∉Q，而根据第二类集合的定义，所以Q∈Q，根据第一类集合的定义，A∈A，所以Q∈P，引出矛盾。

这就是著名的"罗素悖论"(Russell's paradox)。罗素悖论还有一些较为通俗的解释，如理发师悖论等。

为消除该悖论，集合论中规定:所有集合不能以自己为元素。