2018-01-09 16:43:18

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一般地,如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N(N>0),那么数b叫做以a为底N的对数,记作log aN=b,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。一般地,函数y=log(a)X,(其中a是常数,a>0且a不等于1)叫做对数函数,它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。

基本信息

  • 中文名

    对数函数

  • 外文名

    Logarithm

  • 学科领域

    数学

折叠 编辑本段 对数函数概述

一般地,如果a(a大于0,且a不等于1)的b次等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log aN=b,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。一般地,函数y=log(a)X,(其中a是常数,a>0且a不等于1)叫做对数函数,它实际上就是指数函数反函数,可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。[1]

折叠 编辑本段 定义

真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零,

底数则要大于0且不为1 。对数函数的底数为什么要大于0且不为1? 【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是,根据对数定义: log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数(比如log1 1也可以等于2,3,4,5,等等)】

通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common logarithm),并把log10N记为lgN。另外,在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并且把loge N 记为In N。根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:

当a 〉0,a≠ 1时,a^X=N→X=logaN。

由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论:

在实数范围内,负数和零没有对数

loga^a=1 log以a为底a的对数为1(a为常数) 恒过点(1,0)

折叠 编辑本段 对数函数

对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。

(1) 对数函数的定义域为大于0的实数集合。

(2) 对数函数的值域为全部实数集合。对数函数对数函数

(3) 函数图像总是通过(1,0)点。

(4) a大于1时,为单调增函数,并且上凸;a大于0小于1时,函数为单调减函数,并且下凹。

(5) 显然对数函数无界。

对数函数的常用简略表达方式:

(1)log(a)(b^n)=nlog(a)(b) (a为底数)(n属于R)

(2)lg(b)=log(10)(b) (10为底数)

(3)ln(b)=log(e)(b) (e为底数)

对数函数的运算性质:

如果a〉0,且a不等于1,M>0,N>0,那么:

(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n属于R)

(4)log(a^k)^(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n属于R)

(5) a^log(a)(N)=N

对数与指数之间的关系

当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log(a)N=x

log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n属于R)

换底公式 (很重要)

log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga

ln 自然对数 以e为底 e为无限不循环小数(通常情况下只取e=2.71828)

lg 常用对数 以10为底

折叠 编辑本段 运算性质

一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log(a)(N)=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 对数函数化简问题

底数则要>0且≠1 真数>0

并且,在比较两个函数值时:

如果底数一样,真数越大,函数值越大。(a>1时)

如果底数一样,真数越大,函数值越小。(0<a<1时)

对数的运算性质

当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么:

(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n∈R)

(6)换底公式:log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1)

设a=n^x则a^(log(b)n)=(n^x)^log(b)n=n^(x·log(b)n)=n^log(b)(n^x)=n^(log(b)a)

log(a)a^b=b 证明:设a^log(a)N=X,log(a)N=log(a)X,N=X

(9)由幂的对数的运算性质可得(推导公式)

对数与指数之间的关系

对数函数与指数函数互为反函数

当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N

关于x=y对称

折叠 编辑本段 表达方式

(1)常用对数:lg(b)=log(10)(b)

(2)自然对数:ln(b)=log(e)(b)

通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义

对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x,它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定(a>0且a≠1),右图给出对于不同大小a所表示的函数图形: 关于X轴对称、

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。

折叠 编辑本段 性质

定义域求解:对数函数y=loga x 的定义域是{x ︳x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需满足{x>0且x≠1} 。

{2x-1>0 ,x>1/2且x≠1},即其定义域为 {x ︳x>1/2且x≠1}值域:实数集R

定点:函数图像恒过定点(1,0)。

单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸

对数的图像0<a<1时,在定义域上为单调减函数,并且下凹。

奇偶性:非奇非偶函数,或者称没有奇偶性。

周期性:不是周期函数

零点:x=1

注意:负数和0没有对数。

两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。解释如下:

也就是说:若y=log(a)b (其中a>0,a≠1,b>0)

当0<a<1, 0<b<1时,y=log(a)b>0;

当a>1, b>1时,y=log(a)b>0;

当0<a<1, b>1时,y=log(a)b<0;

当a>1, 0<b<1时,y=log(a)b<0。

指数函数的求导:

e的定义:e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2.718281828...设a>0,a!=1----(log a(x))'=lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)=lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x))=lim(Δx→∞)(1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/x*lim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))=1/x*log a(e)特殊地,当a=e时,(log a(x))'=(ln x)'=1/x。----设y=a^x两边取对数ln y=xln a两边对求x导y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a特殊地,当a=e时,y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。

(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

(2)对数函数的值域为全部实数集合。

(3)函数总是通过(1,0)这点。[1]

(4)a大于1时,为单调递增函数,并且上凸;a小于1大于0时,函数为单调递减函数,并且下凹。

(5)显然对数函数无界。

折叠 编辑本段 对数函数历史

16世纪末至17世纪初的时候,当时在自然科学领域(特别是天文学)的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算,于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。

德国的史提非(1487-1567)在1544年所著的《整数算术》中,写出了两个数列,左边是等比数列(叫原数),右边是一个等差数列(叫原数的代表,或称指数,德文是Exponent ,有代表之意)。

欲求左边任两数的积(商),只要先求出其代表(指数)的和(差),然后再把这个和(差)对向左边的一个原数,则此原数即为所求之积(商),可惜史提非并未作进一步探索,没有引入对数的概念。

纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」,化简了乘除法运算,其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法,他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法,其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理,后人称为 纳皮尔对数,记为Nap.㏒x,它与自然对数的关系为:

Nap.㏒x=10㏑(107/x)

由此可知,纳皮尔对数既不是自然对数,也不是常用对数,与现今的对数有一定的距离。

瑞士的彪奇(1552-1632)也独立地发现了对数,可能比纳皮尔较早,但发表较迟(1620)。

英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。

1619年,伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近(以e=2.71828...为底)。

对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响,简化了行星轨道运算问题。正如科学家伽利略(1564-1642)说:「给我时间,空间和对数,我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家拉普拉斯( 1749-1827)亦提到:「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。

最早传入我国的对数著作是《比例与对数》,它是由波兰的穆尼斯(1611-1656)和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中,2叫「真数」,0.3010叫做「假数」,真数与假数对列成表,故称对数表。后来改用 「假数」为「对数」。

我国清代的数学家戴煦(1805-1860)发展了多种求对数的捷法,著有《对数简法》(1845)、《续对数简法》(1846)等。1854年,英国的数学家艾约瑟(1825-1905) 看到这些著作后,大为叹服。

当今中学数学教科书是先讲「指数」,后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年 ,J.威廉(1675-1749)在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》(1748)中明确提出对数函数是指数函数的逆函数

参考资料

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