2021-08-18 13:29:17

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函数|微积分
函数|微积分
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导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。

右上图为函数 y = ƒ(x) 的图象,函数在x_0处的导数ƒ′(x_0) = lim{Δx→0} [ƒ(x_0 + Δx) - ƒ(x_0)] / Δx。如果函数在连续区间上可导,则函数在这个区间上存在导函数,记作ƒ′(x)或 dy / dx

基本信息

  • 中文名

    导数

  • 外文名

    derivative

  • 提出者

    牛顿 

  • 应用学科

    数学、物理学等

折叠 编辑本段 导数定义

 一、导数第一定义

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时相应地函数取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) 如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第一定义

二、导数第二定义

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0 处有变化 △x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时相应地函数变化 △y = f(x) - f(x0) 如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第二定义

三、导函数与导数

如果函数 y = f(x) 在开区间I内每一点都可导就称函数f(x)在区间 I 内可导。这时函数 y = f(x) 对于区间 I 内的每一个确定的 x 值都对应着一个确定的导数这就构成一个新的函数称这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数记作 y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx。导函数简称导数。

折叠 编辑本段 导数的起源

一.早期导数概念----特殊的形式

大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E就是我们所说的导数f'(A)。

二.17世纪----广泛使用的“流数术”

17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展在前人创造性研究的基础上大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”;他称变量为流量,称变量的变化率为流数,相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》流数理论的实质概括为他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程在于自变量的变化与函数的变化的比的构成最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。

三.19世纪导数----逐渐成熟的理论

1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第五版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点可以用现代符号简单表示{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数如果函数y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言对微积分中出现的各种类型的极限重加表达导数的定义也就获得了今天常见的形式。

四.实无限将异军突起微积分第二轮初等化或成为可能 微积分学理论基础大体可以分为两个部分。一个是实无限理论即无限是一个具体的东西一种真实的存在另一种是潜无限指一种意识形态上的过程比如无限接近。

就历史来看两种理论都有一定的道理。其中实无限用了150年后来极限论就是现在所使用的。

光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论都不是最好的手段。

折叠 编辑本段 导函数

一般地假设一元函数 y=f(x )在 点x0的某个邻域N(x0δ)内有定义当自变量取的增量Δx=x-x0时函数相应增量为 △y=f(x0+△x)-f(x0)。若函数增量△y与自变量增量△x之比当△x→0时的极限存在且有限就说函数f(x)在x0点可导并将这个极限称之为f在x0点的导数或变化率。

“点动成线”若函数f在区间I 的每一点都可导便得到一个以I为定义域的新函数记作 f'(x) 或y'称之为f的导函数不能简称为导数.

折叠 编辑本段 几何意义

函数y=fx在x0点的导数f'x0的几何意义表示函数曲线在P0[x导数的几何意义0fx0] 点的切线斜率

导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率.

折叠 编辑本段 科学应用

导数与物理几何代数关系密切.在几何中可求切线在代数中可求瞬时变化率在物理中可求速度加速度.

导数亦名纪数、微商微分中的概念是由速度变化问题和曲线的切线问题矢量速度的方向而抽象出来的数学概念.又称变化率.

如一辆汽车在10小时内走了 600千米它的平均速度是60千米/小时.但在实际行驶过程中是有快慢变化的不都是60千米/小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况可以缩短时间间隔设汽车所在位置s与时间t的关系为:  s=f(t)

那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是:

[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]

当 t1与t0无限趋近于零时汽车行驶的快慢变化就不会很大瞬时速度就近似等于平均速度 .

自然就把当t1→t0时的极限lim[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程 如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度

折叠 编辑本段 微积分

导数另一个定义当x=x0时f'(x0)是一个确定的数。这样当x变化时f'(x)便是x的一个函数我们称他为f(x)的导函数derivative function简称导数.

物理学几何学经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度 就匀速直线加速度运动为例 位移关于时间的一阶导数是瞬时速度二阶导数是加速度、可以表示曲线在一点的斜率矢量速度的方向、还可以表示经济学中的边际和弹性。

以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。为了研究更一般的流形上的向量丛截面比如切向量场的变化导数的概念被推广为所谓的“联络”。有了联络人们就可以研究大范围的几何问题这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。

注意1.f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件不是充要条件。

2.导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数没有增减性即没有极值点。但导数为零。导数为零的点称之为驻点如果驻点两侧的导数的符号相反则该点为极值点否则为一般的驻点如y=x³中f‘(0)=0x=0的左右导数符号为正该点为一般驻点。

折叠 编辑本段 求导方法

① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

② 求平均变化率③ 取极限得导数。

① C'=0(C为常数函数)

② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈R)熟记1/X的导数

③ (sinx)' = cosx

(cosx)' = - sinx

(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2

(cotx)'=-1/(sinx)^2=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2

(secx)'=tanx·secx

(cscx)'=-cotx·cscx

(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2

(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2

(arctanx)'=1/(1+x^2)

(arccotx)'=-1/(1+x^2)

(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)

(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)

④(sinhx)'=coshx

(coshx)'=sinhx

(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2

(coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2

(sechx)'=-tanhx·sechx

(cschx)'=-cothx·cschx

(arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2

(arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2

(artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1)

(arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1)

(arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2)

(arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)

⑤ (e^x)' = e^x

(a^x)' = a^xlna ln为自然对数

(Inx)' = 1/x ln为自然对数

(logax)' =x^(-1) /lna (a>0且a不等于1)

(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)

(1/x)'=-x^(-2)

补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的只能代函数(即y=lna的导数为0,因为lna为常数而y=lnx的导数为1/x)新学导数的人往往忽略这一点造成歧义要多加注意。关于三角求导“正正余负”三角包含三角函数也包含反三角函数正指正弦、正切与正割。

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv'

③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2

4.复合函数的导数

复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。

5.积分号下的求导法

d(∫f(x,t)dt φ(x),ψ(x))/dx=f(x,ψ(x))ψ'(x)-f(x,φ(x))φ'(x)+∫[f 'x(x,t)dt φ(x),ψ(x)]

导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献

折叠 编辑本段 导数公式

这里将列举六类基本初等函数的导数以及它们的推导过程初等函数可由之运算来

1.常函数即常数y=c(c为常数) y'=0 【y=0 y'=0导数为本身的函数之一】

2.幂函数y=x^n,y'=n*x^(n-1)(n∈R) 【1/X的导数为-1/(X^2)】

基本导数公式3指数函数y=a^x,y'=a^x * lna 【y=e^x y'=e^x导数为本身的函数之二】

4对数函数y=logaX,y'=1/(xlna) (a>0且a≠1,x>0)【y=lnx,y'=1/x】

5.三角函数

(1)正弦函数y=(sinx y'=cosx

(2)余弦函数y=cosx y'=-sinx

(3)正切函数y=(tanx y'=1/(cosx)^2

(4)余切函数y=cotx y'=-1/(sinx)^2

6.反三角函数

(1)反正弦函数y=arcsinx y'=1/√1-x^2

(2)反余弦函数y=arccosx y'=-1/√1-x^2

(3)反正切函数y=arctanx y'=1/(1+x^2)

(4)反余切函数y=arccotx y'=-1/(1+x^2)

【 5】f[x]×g[x]=f'x]g[x]+f[x]g'x]

为了便于记忆有人整理出了以下口诀:

常为零,幂降次,对导数(e为底时直接导数,a为底时乘以lna),指不变(特别的,自然对数的指数函数完全不变,一般的指数函数须乘以lna);正变余,余变正,切割方(切函数是相应割函数(切函数的倒数)的平方),割乘切,反分式

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到

2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2

3.原函数与反函数导数关系由三角函数导数推反三角函数的y=f(x)的反函数是x=g(y则有y'=1/x'

证1.显而易见y=c是一条平行于x轴的直线所以处处的切线都是平行于x的故斜率为0。用导数的定义做也是一样的y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。

2.这个公式的证明过程见右图。幂函数的求导公式证明[2]

3.y=a^x,

Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)

Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx

如果直接令Δx→0是不能导出导函数的必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道Δx=loga(1+β)。

所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

显然当Δx→0时β也是趋向于0的。而limβ→0时(1+β)^1/β=e,所以limβ→0时1/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

把这个结果代入limΔx→0时Δy/Δx=limΔx→0时a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。

可以知道当a=e时有y=e^x y'=e^x。

4.y=logax

Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x

Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x

因为当Δx→0时Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有

limΔx→0Δy/Δx=logae/x。

也可以进一步用换底公式

limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1)

可以知道当a=e时有y=lnx y'=1/x。

这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。

Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)

Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2)

所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx

6.类似地可以导出y=cosx y'=-sinx。

7.y=tanx=sinx/cosx

y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

8.y=cotx=cosx/sinx

y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

9.y=arcsinx

x=siny

x'=cosy

y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

10.y=arccosx

x=cosy

x'=-siny

y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

11.y=arctanx

x=tany

x'=1/cos^2y

y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

12.y=arccotx

x=coty

x'=-1/sin^2y

y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与

4.y=u±v,y'=u'±v'

5.y=uv,y=u'v+uv'

均能较快捷地求得结果。

对于y=x^n y'=nx^(n-1) y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法。

y=x^n

由指数函数定义可知y>0

等式两边取自然对数

ln y=n*ln x

等式两边对x求导注意y是y对x的复合函数

y' * (1/y)=n*(1/x)

y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1)

幂函数同理可证

导数说白了它其实就是曲线一点斜率函数值的变化率

上面说的分母趋于零这是当然的了但不要忘了分子也是可能趋于零的所以两者的比就有可能是某一个数如果分子趋于某一个数而不是零的话那么比值会很大可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在。

x/x,若这里让X趋于零的话分母是趋于零了但它们的比值是1,所以极限为1.

建议先去搞懂什么是极限。极限是一个可望不可及的概念可以很接近它但永远到不了那个岸。

并且要认识到导数是一个比值。

折叠 编辑本段 应用单调性

利用导数的符号判断函数的增减性这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用它充分体现了数形结合的思想

一般地在某个区间(ab)内如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)<0那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减;

如果在某个区间内恒有f'(x)=0则f(x)是常数函数

注意在某个区间内f'(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件而不是必要条件,如f(x)=x3在R内是增函数但x=0时f'(x)=0。也就是说如果已知f(x)为增函数解题时就必须写f'(x)≥0。

①确定f(x)的定义域

②求导数

③由或解出相应的x的范围当f'(x)>0时f(x)在相应区间上是增函数当f'(x)<0时f(x)在相应区间上是减函数

函数的极值

①如果在两侧符号相同则不是f(x)的极值点

②如果在附近的左右侧符号不同那么是极大值或极小值。

求极值

①确定函数的定义域

②求导数

③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点即求方程及的所有实根

④检查在驻点左右的符号如果左正右负那么f(x)在这个根处取得极大值如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值

函数的最值

①求f(x)在(ab)内的极值

②将f(x)的各极值与f(a)f(b)比较其中最大的一个是最大值最小的一个是最小值

生活问题

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题这些问题称为优化问题优化问题也称为最值问题解决这些问题具有非常现实的意义这些问题通常可以转化为数学中的函数问题进而转化为求函数的最大小值问题

实习作业

本节内容概括总结了微积分建立的时代背景并阐述了其历史意义包括以下六部分

注意事项

1.函数图像看增减导数图像看正负。

2.极大值不一定比极小值大。

3.极值是局部的性质最值是整体的性质

导数应用

洛必达法则 罗尔中值定理与其它微分中值定理

折叠 编辑本段 应用实例

问题设计一个圆柱形容器要求容积为335ml使用的材料最少。

求解求解

V (r, h) = r2h (1)

Vd = 355mL = 0.355 0.01m3 (2)

f(r, h) = A(r, h) = 2r2 + 2rh (3)

X = (r, h) : r, h ∈ R+ (4)

h = Vd

πr2 = 0.003 55m3 (5)

f(r) = 2r2 + 2 Vdrㄢ (6)

f′(r) = 4r + 2Vd 爢三 (7)

r ≈ 3.8cm (8)

h ≈ 7.7cm (9)

f′′(r) = 4 + 4Vdr3 (10)

f′′(r) > 0 得到的解 x = (r, h) 是要求的解

利用导数知识能很轻松的解决这个问题。

折叠 编辑本段 高阶导数

高阶导数的求法

1直接法由高阶导数的定义逐步求高阶导数。

一般用来寻找解题方法。

2高阶导数的运算法则高阶导数运算法则‘注意必须在各自的导数存在时应用和差点导数’

3间接法利用已知的高阶导数公式

通过四则运算

变量代换等方法‘注意代换后函数要便于求尽量靠拢已知公式’

求出阶导数。

常见高阶导数的公式[3]

常见高阶导数公式

折叠 编辑本段 创建公式

Word中创建导数公式

在Microsoft Word、WPS等软件中插入导数符号时一般需要借助其编辑公式功能以Word2010软件为例介绍Word中创建导数公式的方法

第1步打开Word2010文档窗口切换到“插入”功能区。在“符号”分组中单击“公式”按钮非“公式”下拉三角按钮。

第2步在Word2010文档中创建一个空白公式框架在“公式工具/设计”功能区中单击“结构”分组中的“导数符号”按钮。在打开的导数符号结构列表中会显示导数符号、带框公式、顶线和底线等多种类型的导数符号。根据需要选择合适的导数符号形式例如选择“横杠”。

第3步在空白公式框架中将插入导数符号结构单击占位符框并输入具体导数符号数值即可。

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