2022-04-08 17:23:06
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复数 - 数的概念的扩展 免费编辑 修改义项名

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复数x被定义为二元有序实数对(a,b) ,记为z=a+bi,其中,a 称为实部,b 称为虚部,i 称为虚数单位。当 z 的虚部 b=0 时,则 z 为实数;当 z 的虚部 b≠0 时,实部 a=0 时,常称 z 为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包,即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受。

基本信息

  • 中文名

    复数

  • 外文名

    complex number

  • 发现者

    Heron of Alexandria

  • 命名者

    Rene Descartes

  • 定理公式

    欧拉公式、棣莫佛定理

  • 应用领域

    信号分析,流体力学,分形等

  • 复数集性质

    无序集

折叠 编辑本段 复数如何运算

1.复数的加减法是:实部与实部相加减;虚部与虚部相加减

乘法:(a+ib)*(c+id)=ac+iad+ibc-bd=ac-bd+i(ad+bc)

除法:先把分母化为实数,方法是比如分母为a+ib,就乘上它的共轭复 数a-ib(同时分子也要乘上(a-ib)分母最后化为a²+b²分子就变成乘法了设z=a+ib 则z的共轭为a-ib(a+ib)(a-ib)=a²+b²|z|=根号a²+b²共轭就是复数的虚部系数符号取反。

2.以z1,z2为例:z1=x1+iy1,z2=x2+iy2;  z1+z2=x1+x2+iy(1+2),   z1-z2=x1-x2-iy(1-2)      z1*z2=x1x2+x1iy2+iy1x2-y1y2  ,以及,复数运算当中一些结论                               

3.|z|是z的模长 =√a²+b²

4.i²= -1

折叠 编辑本段 复数

复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数,i是虚数单位(即-1开根)。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法,诸如向量表示、三角表示,指数表示等。它满足四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。另外,复数还指在英语中与单数相对,两个及两个以上的可数名词。[1]形式形式

折叠 编辑本段 起源

16世纪意大利米兰学者卡当(Jerome Cardan1501—1576)在1545年发表的《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称之为“卡尔丹公式”。他是第一个把复数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40时,他把答案写成(5+√-15)*(5-√-15)=25-(-15)=40,尽管他认为5+√-15和5-√-15这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的,但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(1596—1650),他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应,从此,虚数才流传开来。

数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨(1646—1716)在1702年说:“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。瑞士数学大师欧拉(1707—1783)说:“一切形如,√-1,√-2的数学式子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻。”然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔(1717—1783)在1747年指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是a+bi的形式(a、b都是实数)。法国数学家及物理学家棣莫弗(1667—1754)在1730年6月发现了著名的棣莫弗定理(见上文)。欧拉在1748年发现了有名的关系式,并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i来表示-1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的。挪威的测量学家成塞尔(1745—1818)在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视。

复数的这几种几何表示是由韦塞尔在1797年提出的。后来,阿尔冈出书对此进行讨论,并得到高斯的认同,因此这种几何表示也称阿尔冈图(Argand diagram),正是这种直观的几何表示,揭开了复数的神秘的,不可思议的‘面纱’,确立了复数在数学中的地位。

德国数学家阿甘得(1777—1855)在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数a+bi。象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“阿甘得平面”。高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数一一对应,扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法。至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了。

经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚。虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集。

随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。复数理论在生活中也有。

折叠 编辑本段 定义

复数

数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解,因此将数集再次扩充,达到复数范围。

形如z=a+bi的数称为复数(complex number),其中规定i为虚数单位,且i^2=i×i=-1(a,b是任意实数)

我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部(real part)记作Rez=a

实数b称为复数z的虚部(imaginary part)记作 Imz=b.

已知:当b=0时,z=a,这时复数成为实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;

当a=0且b≠0时,z=bi,我们就将其称为纯虚数。

将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模,记作∣z∣.

即对于复数z=a+bi,它的模

∣z∣=√(a²+b²)

复数的集合用C表示,实数的集合用R表示,显然,R是C的真子集。

复数集是无序集,不能建立大小顺序。  复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数,i是虚数单位(即-1开根)。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法,诸如向量表示、三角表示,指数表示等。它满足四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。

另外,复数又指在英语中与单数相对的两个及两个以上的可数名词。

参考资料
  • 1. 曹才翰 - 《 中国中学教学百科全书·数学卷》 - 沈阳出版社 , 1991 . 0.

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