2019-07-10 17:11:11
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对角线 - 几何学名词 免费编辑 修改义项名

所属类别 :
代数
代数
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对角线,几何学名词,定义为连接多边形两个不相邻顶点的线段,或者连接多面体任意两个不在同一面上的顶点的线段。另外在代数学中,n阶行列式,从左上至右下的数归为主对角线,从左下至右上的数归为副对角线。

基本信息

  • 中文名

    对角线

  • 外文名

    diagonal

折叠 编辑本段 几何图形

几何连接多边形任意两个不相邻顶点的线段,或者连接多面体任意两个不在同一面上的顶点的线段.

从n 边形的一个顶点出发,可以引n -3条对角线

n边形共有n×(n-3)÷2个对角线

◎关于矩形对角线的知识:

长×长+宽×宽=对角线×对角线(其实就是勾股定理)即两个直角边平方和等于斜边的平方。

狭义的对角线,是在多边形中任意两个非邻接的顶点的连线(线段).

广义的对角线,是在多维度体中任意两个非邻接的顶点的连线(线段).[1]

折叠 编辑本段 代数

折叠 行列式

n阶行列式中,从左上至右下的数归为主对角线,从左下至右上的数归为副对角线。行列式对角线法则行列式对角线法则

克莱姆(Cramer)法则:主对角线的数分别相乘,所得值相加;副对角线的数分别相乘,所得值的相反数相加。两者总和为行列式的值。此法仅适用于小于4阶的行列式。(如右图)

折叠 矩阵

一个m×n阶矩阵的对角线为所有第k行第k列元素的全体,k=1,2,3… min{m,n}。

折叠 集合

设X,Y是任意两个集合,按定义一切序对(x,y)所构成的集合:

X×Y := {(x,y)|(x∈X)∧(y∈Y)}

叫做集合X,Y(按顺序)的直积或笛卡尔积,X×X叫做X^2。

集合中的对角线:

△ = {(a,b)∈X^2| a = b }

是X^2的一个子集,它给出集X中元素的相等关系,事实上,a△b表示(a,b)∈△。即a=b。

折叠 编辑本段 四边形对角线

由三角形的三个顶点就能确定这个三角形的位置、形状和大小;当没有给出顶点时,由三角形的一些元素(共六个元素,分别为三角形的三条边和三个内角)也能确定三角形的形状和大小。确定了三角形,就能研究这个三角形的中线、高、角平分钱、中位线这几个重要的线段。在四边形中,是通过对角线把它分割成三角形来研究的,这样四边形中的对角线就显得更加重要。本文就如何巧用四边形的对角线来判定特殊的四边形举例加以分析,供同学们学习时参考。

一. 利用对角线判定特殊的四边形

在课堂上我们已探索过以下几个重要的结论:

⑴对角线互相平分的四边形是平行四边形;

⑵对角线互相平分且相等的四边形是矩形;

⑶对角线互相平分且垂直的四边形是菱形;

⑷对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形;

⑸对角线相等的梯形是等腰梯形

其实以上这些结论是有联系的。如图1,四边形ABCD中,两条对角线相交于点O。

⑴当OA=OC,OB=OD时,四边形ABCD是平行四边形。

⑵在OA=OC,OB=OD的基础上增加AC=BD条件时,四边形 ABCD在平行四边形的基础上变成矩形。

⑶在OA=OC,OB=OD的基础上增加AC BD条件时,四边形ABCD在平行四边形的基础上变成菱形。

⑷在OA=OC,OB=OD的基础上增加AC=BD, 条件时,四边形ABCD在平行四边形的基础上变成正方形。

⑸当AB//CD, 且 ,OA=OB时,此时的四边形ABCD为对角线相等的梯形,即等腰梯形。

由此可知,把一个一般的四边形变为特殊的四边形,可以通过改变两条对角线的大小关系和位置关系来完成。这也是特殊四边形之间重要的联系纽带之一。

二. 利用对角线判定动态四边形的形状

如图2, 中,点O是边AC上的一个动点,P是BC延长线上一点。过点O作直线MN//BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠PCA的平分线于点F,连结AE、AF。

⑴图中有等腰三角形吗?

⑵当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?简要说明理由。

⑶在⑵中的矩形可能是正方形吗?此时 应满足什么条件?

分析:⑴图2中有等腰三角形。

理由:

是等腰三角形。

⑵当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形。理由如下:

由⑴得。

由O是AC的中点,得。

所以 :

所以四边形AECF的两条对角线AC、EF互相平分且相等。故四边形AECF为矩形。

所以,当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形。

⑶在⑵中的矩形可能是正方形。

理由:因为MN//BC,当∠ACB=90°时,∠AOE=∠ACB=90°,即对角线AC、EF互相垂直。

所以这时四边形AECF是正方形。

即在这当中,当∠ACB=90°时,在⑵中的矩形AECF是正方形。

参考资料
  • 1. Bronson, Richard (1970) - Matrix Methods: An Introduction / New York - Academic Press . 0.

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