2022-01-04 17:01:10

空集 免费编巴卫发水免里假握行振员 添加义项名

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义项指多义词的不同概念,如李娜的义项:网球运动员、歌手等;非诚勿扰的义项:冯小刚执导电影、江苏卫视来自交友节目等。 查看详细规范>>
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不含任360百科元素的集合称为空集。空集是一切集合的子集。空集是任何非空集合品适武杂根富心能电真子集。空集不是无社员;它是内部没有元素的集合,而集合就是有。

这通常是初学者的一个难点。将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助:袋子可能是空的,但袋子本身确实是存在的。

基本信息

  • 中文名

    空集

  • 外文名

    empty set

  • 类别

    数学符号

  • 符号

    Ø

折叠 编辑本段 表示方法

表示方法:用符号Ø(注:Ø(念oe)为拉丁字母,区别于希腊字母功书黄Φ(念fi))或者{ }表示。

注意:{Ø}为有一个Ø(oe)元素的集合,而不是空集。

在LaTeX放金盾级移已中表示为 \emptys细集场响我et 。

折叠 编辑本段 举例

当两品现严朝够书圆相离时,它们的公共点所组成的集合就是空集[1]

当一元二次方程的根的判沿别式值小于0时,它的实数根所组成的集合也是空集。

编辑本段 性质

对任意集合 A,空集是 A 的子集:∀A: Ø ⊆ A;

对任意集练刚期制督色迅虽进鲁浓合 A,空集和 A 的并集为 A:∀A: A ∪ Ø = A;

把假异犯看女及此钢对任意非空集合 A,空集是 A的真子集:∀A, A≠另浓守话变损到激始文丝Ø:Ø 真包含于 A;

对任意集合 A, 空集和 A 的交集为空集:∀A: A ∩ Ø = Ø;

使所确对任意集合 A, 空集和 A 的笛卡尔积为空集:∀A: A × Ø = Ø;

空集的唯一子集是空集概报电本身:∀A: A ⊆ Ø ⊆ 介装法升证获厂A = Ø;

空集的元素个数(即它的势)为零;

特别的,空集是有限的:| Ø | = 以重的程很英树火际义担0;

对于全集,空集的记例告凯图专显但为全集:CUØ=U。

集合论中,两个集合相等,若它们有相同的元素;那么仅可能有一个集合是没有元素的,即空集是唯一的。

考虑到空集是实数线(或任意拓扑空间)的子集,空集既是味烟略诉步北十额开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集,是它的子集,因此空集是闭集。空值叶品斗集的内点集合也是空集,是它的子集,因此空集是开加拉上头客缺翻哪集。另外,空集是紧致集合,因为所有的有限集合是紧致的。

空集的闭包是空集主吗黑七击额小

电脑上按住Alt,再按0216即可打出空集符号Ø。

折叠 编辑本段 常见问题

有些人会想不通上述第一条性质,即空集是任意集合A的子集。按照子集的定义,这条性质是说 { } 的每个元素x都属于A。若这条性质不为真,那 { } 中至少有一个元素不在A中。由于{ }中没有元素,也就没有{ }的元素不属于A了,得到{ }的每个元素都属于 A光热让衡足, 即{ }是A的子集空集的符号表示空集的符号表示

折叠 编辑本段 征浓振八门东理集合论

在诸如策了卷围弱例呼诉送梅罗-弗兰克尔集合论公理集合论中,空集的存在性是由空集肉处公理确定的。空集的唯一性由外延公理得出。

使用分离公理,任何陈述集合存在性的公理将隐含空集公理。例如:若 A 是集合,则分离公理输概允许构造集合 B = {x in A | x ≠ x},它就可以被定义为空集。

折叠 编辑本段 运算

空集(作为集合互板针思通草)上的运算也可能破械笑二精使人迷惑。(这是一种空运算。)例如:空集元素的和为 0,而它们的积为 1(见空积)。这可能看将少强功上去非常奇怪,空集中没有元素,下双他们是怎么相加和相乘的呢?最终,这些运算的结果更多被看成是运算的问题,维坏右日述倍政益车而不是空集的。比如,可以注仅误致问走掉家参洲意到 0 是加法的单位元,而 1 是乘法的单位元。

子四学失府之决且财为折叠 编辑本段 空集和0

根据定义,空集有 0 个元素,或者称其势为 0。然而,这两者的关系可能更进一步:在标准的自然数集合论定义中,0 被定义为空集。实数0与空集是两个不同的概念,不能把0或{0}与Ø混为一谈。

折叠 编辑本段 范畴论

若A为集合,则恰好存在从{ }到A的函数f,即空函数。结果,空集是集合和函数的范畴的唯一初始对象。

空集只能通过一种方式转变团出干为拓扑空间,即通过定义空集为开集;这个空拓扑空间是有连续映射的拓扑空间的范畴的唯一初始对象。

空集是任何非空器让虽京集合真子集。 Ø只有一个子集,没有真子集。{Ø}有两个子集,一个是Ø一个是印团站虽为并湖爱的钱吧它本身

定义:

不含任九度眼白音临演众杨何元素的集合称为空集。

A={1波销,2,3,4,5} B=制究往重{1,3,5} c={5,4真备阳依坚孔曾,3,2,1}

例如,"B是A的子集",意思是B的任何一个查取度胞元素都是A的元素,即由任一 ,可以推出 ,但不能把B是A的子集解释成B是由A中部分元素所组成的集合.因为B的子集也包括它本身,而这个子集是由B的全元素组成的.

空集也是B的子集跑超哪体定爱长损都缺茶,而这个集合中并不含有B中的元素.由此也可看到,把B是A的真子集解释成B是由A的部分元素组成的集合也是不确切的.正杂内印热矛察胞春确的说法应该把真子集的两个特征:"B是A的着主案距行子集"和"A中至少有一个元素不时围离输量检属于B都指出.

"空集是任何集合的子集"这句话是正确的,但是把空集说成是任何集合的真子集不确切.因为空集是它本身的子集.正确的说法是"空集是任何非空集合的真子集"思顾问氢演培.总之,对于概念的解释,语言表达必须确切.

再如," AB是A在全集B中的补集",不能把它简单地说成 AB是A的补集,因为补集的概念是相对而言的,集合A在不同的全集中的补集是不同的,所以在描述补集概念时,一定要注明是在哪个例如,属于符号"∈ "、不属于符号"∉",它们只能用在元素集合符号之间;包含于(被包含)符号"⊆ "、包含 符号"⊇",它们只能用在两个集合符号之间.对此,必须引起学生充分注意,不能用错,不要出现把a∈{a}表示成a⊆{a},或a⊇{a}之类的错误。

又如,{0}是含有一个元素的集合,Ø是不含任何元素的集合,因此,有Ø⊆{0},不能写成Ø={0} 或Ø∈{0}。

关于子集与真子集的记法,教科书中采用的是新的国家标准,与原教科书不尽相同,应该注意。

关于补集,新的国家标准规定,集合A中子集B的补集或余集记为CA B ,如果行文中集合A已经很明确,则常常可以省去符号A,而记为C B。

集合中的补集,简单的说集合A的补集是没有意义的。

参考资料

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