2020-02-12 20:10:34

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代数
代数
编辑分类

整数(integer)就是像0、1、2、3、-10、1、3、10等这样的数。

整数的全体构成整数集,整数集是一个数环。在整数系中,和正整数统称为自然数。-1、-2、-3、…、-n、…(n为非零自然数)为负整数。则正整数、零与负整数构成整数系。整数不包括小数,分数。

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基本信息

  • 中文名

    整数

  • 外文名

    integers

  • 个    例

    0,1,2,

  • 分    类

    正整数、零与负整数

折叠 编辑本段 性质及应用

折叠 概念及其性质

如果不加特殊说明,我们所涉及的数都是整数,所采用的字母也表示整数。

定义:设a,b是给定的数,b≠0,若存在整数c,使得a=bc,则称b整除a,记作b|a,并称b是a的一个约数(因子),称a是b的一个倍数,如果不存在上述c,则称b不能整除a。  

整数整除性

(1)1与0的特性:

1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a.

0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0.

(2)若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除。

(3)若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除。

(4)若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除。

(5)若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除。

(6)若一个整数能被2和3整除,则这个数能被6整除。

(7)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。例如,判断133是否7的倍数的过程如下:13-3×2=7,所以133是7 的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613-9×2=595 , 59-5×2=49,所以6139是7的倍数,余类推。

(8)若一个整数的未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除。

(9)若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除。

(10)若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除。

(11)若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理!过程唯一不同的是:倍数不是2而是1。

(12)若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除。

(13)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。

(14)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。

(15)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。

(16)若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除。

(17)若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除。

(18)若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除

整数的奇偶性

(1)奇数±奇数=偶数,偶数±偶数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数×偶数=偶数,奇数×偶数=偶数,奇数×奇数=奇数;即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数,奇数个奇数的和、差为奇数,偶数个奇数的和、差为偶数;

(2)奇数的平方都可以表示成(8m+1)的形式,偶数的平方可以表示为8m或(8m+4)的形式;

(3)若有限个整数之积为奇数,则其中每个整数都是奇数;若有限个整数之积为偶数,则这些整数中至少有一个是偶数;两个整数的和与差具有相同的奇偶性;偶数的平方根若是整数,它必为偶数。

奇偶性的哲学内涵

(作者:奇东,单位:奇东)

偶数能被2自然整除,奇数不能被2自然整除。奇数却能被2“相对整除”,如果定义小数±0.5,±1.5,±2.5,±3.5,±4.5,±5.5,±6.5,…拥有“相对整”性质的话。其哲学意义:传统意义的偶数能被2整除、奇数不能被2整除是指奇数与偶数二者的排斥性、对立性、差异性,偶数能被2整除、奇数不能被2整除、奇数却能被2在抽象意义下“相对整除”是指奇数和偶数的异中之同、差异中的共性与同一性,恰好与哲学的对立统一规律相吻合,因此说,奇数与偶数(或整数与半整数)相反相成,蕴涵着哲学的对立统一规律!常言道,最简单的、最质朴恰恰是最深奥的。一个最简单的数值逻辑,蕴涵着最深刻的真理----对立统一规律。

整数拥有单位“1”,“相对整”分数拥有分数单位“1/2”。依照逻辑、概念、定义,分数就是分数。半整数拥有分数性质,然而却偏偏冒出一个“相对整”性质,考验人类科学的勇气与智慧。

完全平方数

完全平方数及其性质

能表示为某整数的平方的数称为完全平方数,简称平方数。平方数有以下性质与结论:

(1)平方数的个位数字只可能是0,1,4,5,6,9;

(2)偶数的平方数是4的倍数,奇数的平方数被8除余1,即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1;

(3)奇数平方的十位数字是偶数;

(4)十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6;

(5)不能被3整除的数的平方被3除余1,能被3整除的数的平方能被3整除。因而,平方数被9也合乎的余数为0,1,4,7,且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1,4,7;

(6)平方数的约数的个数为奇数;

(7)任何四个连续整数的乘积加1,必定是一个平方数。

(8)设正整数a,b之积是一个正整数的k次方幂(k≥2),若(a,b)=1,则a,b都是整数的k次方幂。一般地,设正整数a,b,c……之积是一个正整数的k次方幂(k≥2),若a,b,c……两两互素,则a,b,c……都是正整数的k次方幂。

有理数分类有理数分类

折叠 编辑本段 数学分类

折叠 整数的分类

以0为界限,将整数分为三大类整数数轴整数数轴

1.正整数

即大于0的整数如:1,2,3······等等。

2.零

既不是正整数,也不是负整数,它是介于正整数和负整数的数。 整数整数

3.负整数

即小于0的整数如:-1,-2,-3······等等。

折叠 正整数

它是从古代以来人类计数的工具。可以说,从“一头牛,两头牛”或是“五个人,六个人”抽象化成正整数的过程是相当自然的。 正整数也可分成奇数和偶数两类。

折叠

不仅表示“没有”(“无”),更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时,空位不放算筹,虽无空 位记号,但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(Zero)来自印度的(Sunya)字,其原意也是“空”或“空白”。

折叠 负整数

中国最早引进了负数。《九章算术.方程》中论述的“正负数”,就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程a - b=c,如果a、b是自然数,则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解,就有必要把自然数系扩大为整数系。

折叠 奇数

在整数中,不能被2整除的数叫做奇数,它跟偶数是相对的。日常生活中,人们通常把正奇数叫做单数,它跟双数是相对的。

折叠 偶数

整数中,能够被2整除的数,叫做偶数。 偶数包括正偶数(俗称双数)、负偶数和0。 所有整数不是奇数,就是偶数。当n是整数时,偶数可表示为2n(n为整数);奇数则可表示为2n+1(或2n-1)。 在十进制里,我们可用看个位数的方式判断该数是奇数还是偶数:个位为1,3,5,7,9的数为奇数;个位为0,2,4,6,8的数为偶数。 

备注:现中学数学教材中规定:零和正整数为自然数。 

折叠 广义整数

将整数与半整数统称为广义整数,应量子力学的需要将整数扩展为广义整数,数值逻辑公理系统提供理论支持,量子力学的半整数提供客观的科学支持!

折叠 代数性质

下表给出任何整数a,b和c的加法和乘法的基本性质。

折叠 非负整数

非负整数为正整数和零的统称,就是处负整数以外的整数都叫非负整数,非负整数也叫自然数。

折叠 非正整数

非正整数为负整数和零的统称,就是处正整数以外的整数都叫非正整数。

折叠 计算机语言中

整数是对象,用一个引用指向这个对象

Java 中的数据类型分为基本数据类型和复杂数据类型 int 是前者>>integer 是后者(也就是一个类)

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