2020-10-17 10:48:42

四色定理

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四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里(Francis Guthrie

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四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里(Francis Guthrie)的英国大学生提出来的。德·摩尔根(Augustus De Morgan,1806~1871)1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。四色问题又称四色猜想,是世界近代三大数学难题之一。

基本信息

  • 中文名

    四色问题

  • 外文名

    Four color theorem

  • 别称

    四色猜想、四色定理

  • 应用学科

    拓扑学、图论

  • 提出时间

    1852年

  • 提出者

    古德里(Francis Guthrie)

折叠 编辑本段 基本介绍

四色问题又称四色猜想,四色定理是世界近代三大数学难题之一。地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来的。德·摩尔根(Augustus De Morgan)(1806-1871)1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。一个多世纪以来数学家们为证明这条定理绞尽脑汁所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。1976年美国数学家阿佩尔K.Appel与哈肯W.Haken宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明,又为用计算机证明数学定理开拓了前景。

地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来的。四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。

四色定理如果在平面或者球面上不能成立,必然可以构造五个区域或者五个以上区域两两相连。

就是说,如果一个平面需要5种颜色染色才能够用,就是等价于可以构造有五个区域两两相连。所以四色不够用。

明白这个意思了吗?如果四色定理不能成立,必然存在一种方法构造五个两两相连区域。

折叠 编辑本段 发展历史

折叠 启示来源

四色定理四色定理相传四色问题是一名英国绘图员提出来的,此人叫格思里。1852年他在绘制英国地图的时候发现如果给相邻地区涂上不同颜色,那么只要四种颜色就足够了。需要注意的是任何两个国家之间如果有边界,那么其边界不能只是一个点,否则四种颜色就可能不够。

格思里把这个猜想告诉了正在念大学的弟弟。弟弟认真思考了这个问题结果,既不能证明也没有找到反例,于是向自己的老师、著名数学家德·摩根请教。德·摩根解释不清。当天就写信告诉自己的同行、天才的哈密顿。可是直到哈密顿1865年逝世为止也没有解决这个问题。从此这个问题在一些人中间传来传去。当时三等分角和化圆为方问题已在社会上“臭名昭著”,而“四色瘟疫”又悄悄地传播开来了。

折叠 证明的困难

四色定理四色定理1878年凯莱正式向伦敦数学会提出了这个问题。凯莱可是英国响当当的数学家,他看中的问题必定不同凡响。消息传到了律师肯普的耳朵里,引起了他的极大兴趣。不到一年肯普就提交了一篇论文声称证明了四色问题。人们以为事情到此就已经完结了。谁知到1890年希伍德在肯普的文章中找到一处不可饶恕的错误。

不过让数学家感到欣慰的是,希伍德没有彻底否定肯普论文的价值,运用肯普发明的方法希伍德证明了较弱的五色定理。这等于打了肯普一记闷棍又将其表扬一番。总的来说是贬大于褒。真不知可怜的肯普律师是什么心情。 追根究底是数学家的本性。一方面五种颜色已足够,另一方面确实有例子表明三种颜色不够。那么四种颜色到底够不够呢?这就像一个淘金者明明知道某处有许多金矿,结果却只挖出一块银子,你说他愿意就这样回去吗?

接下去的戏就得由闵可夫斯基来演了。这里得说他几句好话,他虽然没有成功,可自认第一流倒也并非自不量力。要知道19世纪末20世纪初德国格丁根大学能成为世界数学中心就是由于他和希尔伯特、克莱因“三巨头”的努力。四色瘟疫在英国蔓延时还真没有一个研究过它的数学家比得上闵可夫斯基。

折叠 尴尬的一堂课

四色定理四色定理19世纪末德国有位天才的数学教授叫闵可夫斯基他曾是爱因斯坦的老师。爱因斯坦因为经常不去听课便被他骂作“懒虫”。万万没想到就是这个“懒虫”后来创立了著名的狭义相对论和广义相对论。闵可夫斯基受到很大震动,他把相对论中的时间和空间统一成“四维时空”。这是近代物理发展史上的关键一步。

在闵可夫斯基的一生中把爱因斯坦骂作“懒虫”恐怕还算不上是最尴尬的事…… 一天闵可夫斯基刚走进教室,一名学生就递给他一张纸条,上面写着“如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色,那么只需要四种颜色就足够了。您能解释其中的道理吗”

闵可夫斯基微微一笑对学生们说“这个问题叫四色问题是一个著名的数学难题。其实它之所以一直没有得到解决,仅仅是由于没有第一流的数学家来解决它。” 为证明纸条上写的不是一道大餐只是小菜一碟,闵可夫斯基决定当堂掌勺问题就会变成定理……

下课铃响了可“菜”还是生的。一连好几天他都挂了黑板。后来有一天闵可夫斯基走进教室时忽然雷声大作他借此自嘲道“哎!上帝在责备我狂妄自大呢!我解决不了这个问题。”

折叠 缓慢的进展

四色定理四色定理当时由大数学家黎曼、康托尔、庞加莱等创立的拓扑学之发展可谓一日千里。后来竟盖过大数学家高斯宠爱的数论成为雍容华贵的数学女王。四色问题就是属干拓扑学范畴的一个大问题。拓扑学不仅引进了全新的研究对象也引进了全新的研究方式。对数学来说它不啻是一场革命。 回顾拓扑学的历史就可以说明为什么四色问题对于20世纪数学来说是重要的。通俗地说连续变换就是你可以捏、拉一个东西但不能将其扯破也不能把原先不在一起的两个点粘在一起。比如对于26个大写英文字母一些拓扑学家就认为可将其分成3类 

第一类ADOPQR

第二类B

第三类CEFGHlJKLMNSTUVWXYZ。

第一类在连续变换下都可以变成O第三类则都可变成I。

因为4是平面的色数,它也是一种示性数,可见示性数有很多种,体现了平面的拓扑性质与国家的形状无关,将平面弯成曲面也没关系。数学家必须确定这个数究竟是5还是4这很重要。如果国家分布在一个环面上画地图最多得要七种颜色。

吊起数学家胃口的还有一个原因。乍一看环面似乎更复杂,事实上环面的七色定理却比较容易证明。希伍德当时就做到了到1968年其他所有复杂曲面的色数均已确定唯有平面或球面的四色问题依然故我。看来平面没有人们想象的那么简单。

1913年伯克霍夫引进了一些新的技巧,导致1939年弗兰克林证明22国以下的地图都可以用四色着色。1950年温恩将22国提高为35。1968年奥尔又达到了39国。1975年有报道52国以下的地图用四色足够。可见其进展极其缓慢。

折叠 计算机帮助人们圆梦

不过情况也不是过分悲观。数学家希奇早在1936年就认为讨论的情况是有限的不过非常之大大到可能有10000种。对于巨大而有限的数,最好由谁去对付?今天的人都明白:计算机

从1950年起希奇就与其学生丢莱研究怎样用计算机去验证各种类型的图形。这时计算机才刚刚发明。两人的思想可谓十分超前。

1972年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进。到1976年他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了。于是从1月份起他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查历时1200个小时,作了100亿个判断最终证明了四色定理。在当地的信封上盖“Four colorssutfice”四色,足够了的邮戳就是他们想到的一种传播这一惊人消息的别致的方法。

人类破天荒运用计算机证明著名数学猜想应该说是十分轰动的。赞赏者有之,怀疑者也不少,因为真正确性一时不能肯定。后来也的确有人指出其错误。1989年,黑肯与阿佩尔发表文章宣称错误已被修改。1998年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依赖于计算机。无论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了许多重要的新思维。

折叠 编辑本段 解决历程

折叠 猜想的诞生

地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来的。德·摩尔根Augustus De Morgan180618711852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。四色问题又称四色猜想是世界近代三大数学难题之一。

四色猜想的提出来自英国。1852年毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象“看来每幅地图都可以用四种颜色着色使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢?他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠,可是研究工作没有进展。

1852年10月23日他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根。摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径,于是写信向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教。汉密尔顿接到摩尔根的信后对四色问题进行论证。但直到1865年汉密尔顿逝世为止问题也没有能够解决。

折叠 问题的提出

四色定理四色定理1872年英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题。于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878-1880年两年间著名的律师兼数学家肯普(Alfred Kempe)和泰勒(Peter Guthrie Tait)两人分别提交了证明四色猜想的论文,宣布证明了四色定理。大家都认为四色猜想从此也就解决了。肯普的证明是这样的:首先指出如果没有一个国家包围其他国家或没有三个以上的国家相遇于一点这种地图,就说是“正规的”左图。如为正规地图否则为非正规地图右图。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起,但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色。如果有一张需要五种颜色的地图,那就是指它的正规地图是五色的,要证明四色猜想成立只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。

折叠 问题的证明

肯普是用归谬法来证明的。大意是如果有一张正规的五色地图就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”。如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个。就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的。这样一来就不会有极小五色地图的国数也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”,但是后来人们发现他错了。

不过肯普的证明阐明了两个重要的概念,对以后问题的解决提供了途径。第一个概念是“构形”。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国,不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图。也就是说由两个邻国三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构形”是不可避免的。每张地图至少含有这四种构形中的一个。

肯普提出的另一个概念是“可约”性。“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国就会有国数减少的五色地图。自从引入“构形”“可约”概念后逐步发展了检查构形,以决定是否可约的一些标准方法,能够寻求可约构形的不可避免组是证明“四色问题”的重要依据。但要证明大的构形可约需要检查大量的细节这是相当复杂的。                     

11年后即1890年在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。不久泰勒的证明也被人们否定了。人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是说对地图着色用五种颜色就够了。后来越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁但一无所获。于是人们开始认识到这个貌似容易的题目其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。 进入20世纪以来科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法结合自己新的设想证明了某些大的构形可约。后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年有人从22国推进到35国。1960年有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。

折叠 编辑本段 计算机证明

高速数字计算机的发明促使更多数学家对“四色问题”的研究。从1936年就开始研究四色猜想的海克公开宣称四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明。他的学生丢雷写了一个计算程序,海克不仅能用这程序产生的数据来证明构形可约而且描绘可约构形的方法是从改造地图成为数学上称为“对偶”形着手。

他把每个国家的首都标出来,然后把相邻国家的首都用一条越过边界的铁路连接起来。除首都(称为顶点)及铁路(称为弧或边)外擦掉其他所有的线剩下的称为原图的对偶图。到了六十年代后期海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的方法来求构形的不可避免组。在海克的研究中第一次以颇不成熟的形式出现的“放电法”。这对以后关于不可避免组的研究是个关键,也是证明四色定理的中心要素。

电子计算机问世以后由于演算速度迅速提高加之人机对话的出现大大加快了对四色猜想证明的进程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过程”后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。就在1976年6月他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上用了1200个小时作了100亿判断终于完成了四色定理的证明,轰动了世界。

这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事。当两位数学家将他们的研究成果发表的时候,当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色定理”的特制邮戳以庆祝这一难题获得解决。

“四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年的难题,而且成为数学史上一系列新思维的起点。在“四色问题”的研究过程中不少新的数学理论随之产生也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题丰富了图论的内容。不仅如此,“四色问题”在有效地设计航空班机日程表设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。

不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就。他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。直到现在仍有不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。

折叠 编辑本段 数学证明

[1]找到用数学理论的证明是人类研究“四色问题”的终极目标。

四色定理的理论证明,已有一个实例,其证明是用第二数学归纳法证明的。大意是:首先,验证初始值1≤n≤15时四色定理成立;其次,设置归纳假设15≤n≤k时四色定理成立;再次,递推n=k+1时四色定理成立。递推时令Q为构形国,分为二构形、三构形、四构形、五构形等四类论证。

证明的理论基础是,在肯普证明了“在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国,不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图。”的基础上,提出并阐明了n构形(n取2、3、4、5)、构形国、正规地图边界、边沿国等概念。依次采用构造法、反证法、第二数学归纳法等证明了关于五构形的三个引理,引理1:五构形的国家个数的集合W={12,14,15,…,n,…};引理2:任意五构形中存在构形国不是边沿国;引理3:在n≥15的五构形中,若包围构形国Q的每个邻国与Q只有一条共同边界,Q的邻国两两相邻的组数是五,这五个邻国中存在邻国个数大于五的国家P,则四色定理成立。

这个证明采用的是“区块”换色,有别于当年肯普的“证明”采用的是“肯普链”换色。

折叠 编辑本段 局限性

虽然四色定理证明了任何地图可以只用四个颜色着色。但是这个结论对于现实上的应用却相当有限。现实中的地图常会出现飞地即两个不连通的区域属于同一个国家的情况例如美国阿拉斯加州而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色,在这种情况下四个颜色将会是不够用的。

参考资料

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