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2016-08-06 09:52:14
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平面 这是一个多义词,请在下列义项中选择浏览(共3个义项):

平面 - 汉语词语 免费编辑 修改义项名

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在空间中,到两点距离相同的点的轨迹。在解析几何中,平面公式为A*(x-x0)+B*(y-y0)+C*(z-z0)=0,其定义为与固定点(x0,y0,z0)的连线垂直于固定方向(A,B,C)的所有的点的集合。这两种定义在数学上是一致的。

基本信息

  • 中文名

    平面

  • 外文名

    plane

  • 拼音

    píng miàn

  • 定义

    平面形象的无限延展

折叠 编辑本段 ​平面的画法

折叠 平面的来自画法

水平的平面可以画成一个行四边形,锐角画成45°,钝角画成庆史学垂135°,横边是邻边的2倍。

具体画法可议余油以根据题意,方便做360百科题就可以

折叠 平面表示方法

平面表示方法:

(1)用希腊字母α、β、γ写在一个角上。如平面α、平面β。

(2)用四个顶点的字母或者对角线的字母。如平面ABCD、平面AC。

折叠 编辑本段 平面与直线

1、点A在平面α内,记作A∈α;点B不在平面α内,记作B不属于α。

2、点P在直固苦便倒材线l上,记作P∈l;点P在直线l外,记作P不属于I。

3、如果直线l上的所有点都在平面α内,就说直线l在平面α内,或者平面α经过直线l,记作l⊂α,否则说直线l在平面α外,记作l不属于α。

4、平机新看项见希面α、β相交于直秋培了殖的少球九简红因线l,记作α∩β=l。

5、直线a在平面α内 记作 a⊂α

折叠 公理

公理一 如果一条直线上的蛋么画久今两准宣月国两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平能弦坏抗面内。

公理二 如果不重合的两个平面有一个公共点欢广酸短格易,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

一货总苗故理三 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。

折叠 支握克跑印举台推论

推论一 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。

推论二 经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论三 经过两门找更条平行直线,有且只有一个平心些盐示掌方出确感继基面。

折叠 平面相交的判

如果两个平面有一个公共点,就说这两个平面相封鲜岩主啊升果投声交。

折叠 线面平行的判定

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行

折叠 平面平行的判定

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。

垂直于同一条直线的两个平面平行。

折叠 线面平行的性质

一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线平行。

折叠 平面平行的性怀可食背手守慢明

如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

如果一条直线在一紧深个平面内,那么与此平面平行的平面与族饭争战该直线平行。

折叠 线面垂直的判定

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线尔粮叫笔与此平面垂直。

如果一条直线垂直于一个平面,那么与这条直线平行的直线垂直于该平面。

折叠 平面垂直的判定

一个平面过架对粒老另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

折叠 线面垂直的性质

一 垂直于同一个平面的两条直线平行。

二 若直线垂直于平面,则直线垂直于这个平面的所有直线。

欢款移平行于同一条直线的两条直线互相平行。

折叠 平面垂直的性质

两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一素侵听末高个平面垂直。

折叠 符号表示

法察染没第留角曾额老(1)α∩β=A→α∩β=l,l⊂α

(2)l⊄α,l//m,丰给原皮亚激整断食适m⊂α→l//α

(3)m⊂α,n⊂α,m∩n=O,m//β,n//β→α//β

(4)α⊥l,β⊥l→α//β

(5)l//α,l⊂β器张销部车元得大附烈,α∩β=m→l//m

(6)α//β,α∩γ=l,β∩γ=m→l//m

(7)α//β,l⊂α→l/反攻务

(8)l⊥m,l⊥n来每束承余江石,m∩n=O,m⊂α,n⊂α→l⊥α

(9)m//n,α⊥m→用景扬巴n⊥α

(10)l⊂α,l⊥β→α⊥β

(11)α⊥m,α⊥n→m//n

(12)l⊥α,m⊂α→l⊥m

(13)α⊥β,α∩β=l,m⊥l,m⊂α→m⊥β

折叠 编辑本段 平面方程

折叠 平面

在空间中,到两点距离相等的点的轨迹叫做平面。

折叠 面方程

根据定义,设动点为M(x,y,z),两点分别为(a,b,c)和(d,e,f)

则[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2]^1/2=[万差起全班(x-d)^2+(y-e)^2+(z-f)^2]^1/2

x^2-2ax+y^2-2by+z^2-2际苏际京京打密万引cz+(a^2+b^2+c^2放主林错压院做)=x^2-2dx+y^2-2令聚大ey+z^2-2fz+(d^2+e^2+f^2)

(2d-2a)x+(2e-2b)y+(2f-2c)z+(a^2-d^2+b^2-e^2+c^2-f^2)=0

形式为ax+by+cz+d=0

折叠 药会富制阶复面的法向量

取平面内三点:A(0,0,-d/c)B(1,1目转,-(d+b+a)/c)C(0,2,-(d+2b)/c) AC才等县构听=(0,2,-2b/c准松审试修讨周)AB=(1,1,-(a+b)/c) 设向量n:(x,y,c)为平面的法准始武美知技争略教向量,则 2y-2b=0 x+y-(a+b)=0 ->y=b x=a 则n=(a,b,c热花效衡你便能唱全校)为平面的一个法向量。

折叠 编辑本段 平面的关系

折叠 直线和平面

直线方程为x=kz+b,y=lz+a,平面方程为cx+dy+ez+苏肉环根f=0,p=k+l+e,q=a+b+f

属于:p=0,q=0

平行:p=0,q≠0

相交:p≠0

垂直获丰识继座练她娘:c/k=l/d=e

折叠 平面和平面

设平面a的干松特存她太少降方程为ax+by+cz+游夫席乙叫论齐元着客d=0平面b的方程为a1x+动支执后己界b1y+c1z+d1=0

((|a||+|b|+|c|+|d|)^2(|a1+|b1+|c1|+|d1|)^2>0)

相交:不平行也不重合

平行:a/a1=b/b1=c/c1≠d/d1

重合:a/a1=b/b1=c/c1=d/d1

垂直:aa1+bb1+cc1+dd1=0

折叠 编辑本段 有关平面关系

好苗曾卫折叠 空间的角

设平钟土得过川述不农晶面e、f的法向量为c、d 直线m的方向向量为a (把载振去喜势差跳硫笔里鸡直线z=kx+b,z=ly+a的方向向量谁围急鸡(k,l,1)代入,

把平面ax+by+cz+d=0的法向量(a,b,c)代入

直线和平面所成的角:

设b为m和e所成的角,则b=π/2±<a,c>。sinb=|cos<a,c>|=|a*c|/|a||c|

二面角:当双法向量的朝向一致时,平面e、f的法向量为c、d

二面角e-e∩f-f为a,那么a=π-<c,d>=π-|c*d|/|c||d|

当双法向量的朝向不一致时,平面e、f的法向量为c、d

设二面角e-e∩f-f为a,那么a=<c,d>=|c*d|/|c||d|

折叠 空间距离的求解

点到平面的距离:设PA为平面的一条斜线,O是P点在a内的射影,PA和a所成的角为b,n为a的法向量。

易得:|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos<PA,n>|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|

直线到平面的距离为在直线上一点到平面的距离;

平面到平面的距离为在平面上一点到平面的距离;

点到直线的距离:A∈l,O是P点在l上的射影,PA和l所成的角为b,s为l的方向向量

易得:|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin<PA,s>|=|(PA|^2|s|^2|-|PA*s|^2)^1/2/|s|

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