2022-02-09 11:36:32

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维数是数学中独立参数的数目。

基本信息

  • 中文名称

    维数

  • 外文名称

    dimension

折叠 编辑本段 简介

在代数几何史上,维数的定义经历了三个阶段:最早是按流形的定义,即局部解析同构于n维单位球的流形为n维;到19世纪末,德国学派将代数集的维数定义为函数域(在常数域上)的超越次数;而20世纪40年代至今采用克鲁尔维数,即函数环素理想列的最大长度。

折叠 编辑本段 关于维数

折叠 概况

在物理学中,质的维度通常以质的基本单位表示: 例如,速率的维度就是长度除时间。

在普通的几何学(欧几里得几何)中,通常把一个点看作0维,一条线(直线、曲线)看作1维,一个面(平面、曲面)看作2维;而空间则是3维的。

假设有一条线段,以这条线段为边长画出了一个正方形,又以这条线段为棱长画了一个立方体;

如果把这条线段长度扩大到3倍,那么正方形面积就是原来的9倍;立方体体积就是原来的27倍

3、9、27分别是扩大倍数的1、2、3次方,因此1、2、3维就是这样命名的。

一维只有长度

二维平面世界 只有长宽

三维长宽高 立体世界 我们肉眼亲身感觉到看到的世界 三维空间是点的位置由三个坐标决定的空间。客观存在的现实空间就是三维空间,具有长、宽、高三种度量。数学、物理等学科中引进的多维空间概念,是在三维空间基础上所作的科学抽象。

四维一个时空的概念 日常生活所提及的"四维空间",大多数都是指阿尔伯特·爱因斯坦在他的《广义相对论》和《狭义相对论》中提及的"四维时空"概念。我们的宇宙是由时间和空间构成。时空的关系,是在空间的架构上比普通三维空间的长、宽、高三条轴外又加了一条时间轴,而这条时间的轴是一条虚数值的轴。根据阿尔伯特·爱因斯坦相对论所说:我们生活中所面对的三维空间加上时间构成所谓四维空间。

折叠 实数维

1975年,法国科学家Mandelbrot创造了"分形(fractal)"一词,正式将分数维(实际上是实数维)引入了几何;但是在20世纪初就已经有人提出了分数维。请参见分形、分形几何

19世纪到20世纪,维数的另一个发展方向:高维也有很大的成就,数学中又引来了"无穷维"的怪物概念。

我们知道,数轴上两点之间的距离|a1-a2|可以表示为(a1-a2)^2的算术根;而平面直角坐标系内的点的距离则是(a1-a2)^2+(b1-b2)^2的算术根;类推,n维空间内的距离公式则是(a11-a12)^2+(a21-a22)^2+(a31-a32)^2+......+(an1-an2)^2的算术平方根。无穷维的距离公式则建立在无穷求和的基础上的。

折叠 函数空间的维数定义

数学中,函数空间是从集合 X 到集合 Y 的给定种类的函数的集合。它叫做空间是因为在很多应用中,它是拓扑空间或向量空间或这二者。

折叠 向量空间的维数定义

在线性空间V中,如果存在n个元素a1, a 2,··· an,满足:

(i) a1, a 2,··· an,线性无关;

(ii) V中任一元素a总可由a1, a 2,··· an,线性表示。

那么,a1, a 2,··· an,就称为线性空间V的一个基,n称为线性空间V的维数 。

维数为n的线性空间称为n维线性空间,记作Vn。

折叠 编辑本段 分形与分数维

随着数学的发展,1973年,曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时,首次提出了分维和分形几何的设想。分形(Fractal)一词,是曼德勃罗创造出来的,其原意具有不规则、支离破碎等意义,分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的,因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后,很快就引起了许多学科的关注,这是由于它不仅在理论上,而且在实用上都具有重要价值。

一般说来,如果一个自相似的图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成,有:

a^D=b, D=lgb/lga

如Koch曲线维数就是lg4/lg3=1.26185 95071 42914 874...(以3为底4的对数);柳枝曲线的维数是lg5/lg3=1.46497 35207 17927 167...(以3为底5的对数)

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