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正规族是一种特定的全纯函数族,是P.蒙泰尔1912年提出的一种理论,在复变函数论中有着广泛的应用。

基本信息

  • 中文名

    正规族

  • 属性

    全纯函数族

  • 提出者

    P.蒙泰尔

  • 时间

    1912

目录

折叠 编辑本段 正规族

关于复平面上的点集有以下简单事实:如果E是复平面上的一个有界点集(即E中的点均位于某一个圆|z|R内),那么从E中每一个点序列zn(n=1,2,…)都可以选出一个子序列z(k=1,2,…)收敛到一个极限点。蒙泰尔首先将这个事实推广到在一个区域内一致有界的全纯函数族:如果F是在一个区域D内的一个一致有界全纯函数族(即存在一个正数M使对于F中每一个函数?(z),不等式|?(z)|≤M在D内成立),那么从F中每一个函数序列?n(z)(n=1,2,…)都可以选出一个子序列?(z)(k=1,2,…)在D的内部一致收敛到一个全纯函数。这里,族的意思就是集合;在D的内部一致收敛的意思是"在每一个连同边界都属于D的有界区域内"都一致收敛。蒙泰尔的以上定理在他的正规族理论中起着基本的作用,并在保角映射理论中有重要应用。

蒙泰尔注意到,以上定理中条件|?(z)|≤M表示函数?(z)在区域D内不取圆|w|=M外之值,然后他考虑全纯函数族F中的函数?(z)在区域D内均不取一个圆|w-α|F的每一个函数序列?n(z)(n=1,2,…)中,都可选出一个子序列?(z)(k=1,2,…)在D的内部一致收敛到一个全纯函数或一致收敛到常量∞。由此他提出了全纯函数正规族的定义:

如果从全纯函数族F的每一个函数序列?n(z)(n=1,2,…)中,都可以选出一个子序列?(z)(k=1,2,…)在D的内部一致收敛到一个全纯函数或一致收敛到常量∞,则区域D内的全纯函数族F称为在D内为正规的。

因此,一个全纯函数族F在一个区域D内为正规的一个充分条件是F中的函数在D内均不取同一个圆C外之值,另一个充分条件是不取C内之值。凡是这样的充分条件都称为正规性定则。经过进一步的研究,蒙泰尔证明了:F中的函数在D内均不取两个固定的有穷值α及b,是一个正规性定则。这个定则可使复变函数论中过去看来是松散的几个定理呈现紧密的联系,如从这个定则很容易推出皮卡第一定理:一个非常数的整函数?(z)取每一个有穷值,最多除去一个例外值。证明方法是引进函数序列,如果以上皮卡定理不成立,则根据蒙泰尔的正规性定则,这个函数序列构成在圆|z|?(z)在一区域0z|ρ为全纯并以z=0为本性奇点,则在此区域内函数?(z)取每一有穷值无穷次,最多除去一个例外值。根据蒙泰尔的正规性定则还可以证明下列朔特基定理:如果一函数?(z)在一圆|z|R内为全纯并且不取值0和1,则在每一圆|z|θR(0θ?(z)的模小于一个只依赖于?(0)及θ的正数。由此定理,利用柯西不等式,又可推出兰道定理:如果一函数?(z)满足朔特基定理中条件并且?′(0)≠0,则R不超过一个只依赖于?(0)及?′(0)的上限。

蒙泰尔引进正规族的概念之后,又进一步引进了拟正规族的概念。全纯函数拟正规族的定义和全纯函数正规族的定义的差别是:不要求子序列?(z)(k=1,2,…)在D的内部一致收敛,而只要求除去D内有穷个点(或无穷个点,但在D内没有凝聚点)后,在所余的区域内部一致收敛,然后他将G.维塔列的一个定理推广为:如果在一个区域D的一个全纯函数序列属于一个正规族或拟正规族,并且在D内无穷个点收敛到有穷极限,而这无穷个点在D内最少有一个凝聚点,则此全纯函数序列在D的内部一致收敛。

经过C.卡拉西奥多里、E.G.H.兰道、蒙泰尔及A.奥斯特罗夫斯基的工作,亚纯函数正规族的理论也建立起来。如果一致收敛性是用球面距离来定义,那么亚纯函数正规族的定义如下:如果从亚纯函数族F的每一个函数序列?n(z)(n=1,2,…)中,都可以选出一个子序列?(z)(k=1,2,…)在一个区域D的内部一致收敛,则D内的亚纯函数族F称为在D内为正规的。关于亚纯函数族蒙泰尔的正规性定则是:F中的函数在D内均不取三固定的值α,b及с(有穷或无穷)。类似地也可以给出亚纯函数拟正规族的定义。

全纯函数正规族及亚纯函数正规族的理论已经发展到完善的地步。这个理论中的一个重要研究问题是寻求新的正规性定则。关于这个问题已有许多工作,在这方面,A.布洛赫的下列猜测很有指导意义:如果p是一个性质,非常数的整函数不具有性质p,那么在一个区域内具有性质p的全纯函数族是正规的。这个猜测在一些例子中都是对的。例如,与关于整函数的刘维尔定理相应的是以上蒙泰尔的关于一致有界的全纯函数族的定理;与关于整函数的皮卡定理相应的是以上蒙泰尔的关于有两个例外值的全纯函数族的定则。此外,布洛赫还根据他的下列定理:如果函数?(z)于|z|?(0)=0并且?′(0)=1,则存在一个半径大于一绝对常数的圆,在其中函数?(z)的反函数有一分支为全纯;推出了一个新的正规性定则:在一个区域D的全纯函数族F,如果F中的函数的反函数的全纯圆域的半径小于一个固定的常数,那么F在D为正规。

参考书目

P.Montel,Lé?ons sur les familles NorMales de Fonctions Analytiques et Leurs Applications, Gauthier-Villars,Paris, 1927.

G.Valiron,familles NorMales et Quasi-norMales de Fonctions Méromorphes,Mémorial des Sc.Math.,fasc.38, Gauthier-Villars, Paris, 1929.

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