2018-01-31 17:23:27

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龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。是数值计算方法之一,用以求解数值积分。是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间关系的基础上,构造出一种加速计算积分的方法。 作为一种外推算法,在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。

基本信息

  • 中文名称

    龙贝格求积公式

  • 类别

    数值计算方法之一

  • 作用

    用以求解数值积分

  • 别名

    逐次分半加速法

目录

折叠 编辑本段 简介

龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上,构造出一种加速计算积分的方法。 作为一种外推算法, 它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度.

在等距基点的情况下,用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样,前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。

折叠 编辑本段 算法

对区间[a, b],令h=b-a构造梯形值序列{T2K}。

T1=h[f(a)+f(b)]/2

把区间二等分,每个小区间长度为 h/2=(b-a)/2,于是

T2 =T1/2+[h/2]f(a+h/2)

把区间四(2)等分,每个小区间长度为h/4 =(b-a)/4,于是

T4 =T2/2+[h/2][f(a+h/4)+f(a+3h/4).....................

把[a,b] 2等分,分点xi=a+(b-a)/ 2 ·i (i =0,1,2 · · · 2k)每个小区间长度为(b-a)/ 2 .

例:

I = ∫(4/(1+X) )dx 积分区间为0到1.

解 按上述五步计算,此处 f(x)=4/(1+x) a=0 b=1 f(0)=4 f(1)=2

由梯形公式得

T1=1/2[f(0)+f(1)]=3

计算f(1/2)=8/3用变步长梯形公式得

T2=1/2[T1+f(1/2)]=2.8333

由加速公式得

S1=1/3(4T2-T1)=3.133333333

求出f(1/4) f(3/4) 进而求得

T4=1/2{T2+1/2[f(1/4)+f(3/4)]}

=2.2167

S2=1/3(4T4-T2)=3.141568628

C1=1/15(16S2-S1)=3.142117648

计算f(1/8) f(3/8) f(5/8) f(7/8)进而求得

T8=1/2{T4+1/4[f(1/8)+f(3/8)+f(5/8)+f(7/8)]}

=3.138988495

S4=1/3(4T8-T4)=3.141592503

C2=1/15(16S4-S2)=3.141594095

R1=1/63(64C2-C1)=3.141585784

把区间再二分,重复上述步骤算得

T16=3.140941613 S8=3.141592652

C4=3.141592662 R2=3.141592640

由于 |R1-R2|<=0.00001,计算可停止,取R2=3.14159

N

Tn

Sn

Cn

Rn

1

3

3.133333333

3.142117648

3.141585784

2

3.1

3.141568628

3.141594095

3.141592640

4

3.131176471

3.141592503

3.141592662

8

3.138988495

3.141592652

16

3.140941613

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