2020-03-10 11:19:48
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平行线

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数学概念

所属类别 :
几何
几何
编辑分类

几何中,在同一平面内,永不相交(也永不重合)的两条直线(line)叫做平行线(parallel lines)。

平行线是公理几何中的重要概念。欧氏几何的平行公理,可以等价的陈述为"过直线外一点有唯一的一条直线和已知直线平行"。而其否定形式"过直线外一点没有和已知直线平行的直线"或"过直线外一点至少有两条直线和已知直线平行",则可以作为欧氏几何平行公理的替代,而演绎出独立于欧氏几何的非欧几何。

如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。如若a∥b,b∥c,则a∥c.

基本信息

  • 中文名

    平行线

  • 外文名

    parallel line;parallel

  • 学科

    数学

  • 属性1

    平面几何基础

  • 属性2

    几何线段

折叠 编辑本段 定义

在同一平面内,永不相交的两条直线叫做平行线。平行线一定要在同一平面内定义,不适用于立体几何,比如异面直线,不相交,也不平行。

在高等数学中的平行线的定义是相交于无限远的两条直线为平行线,因为理论上是没有绝对的平行的。

折叠 基本特征

平行线的定义包括三个基本特征:一是在同一平面内,二是两条直线,三是不相交。

在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:平行和相交。

折叠 编辑本段 欧氏几何中平行线的性质和判定

折叠 平行线的性质

正平行线的性质与平行线的判定不同,平行线的判定是由角的数量关系来确定线的位置关系,而平行线的性质则是由线的位置关系来确定角的数量关系,平行线的性质与判定是因果倒置的两种命题。对平行线的判定而言,两直线平行是结论,而对平行线的性质而言,两直线平行却是条件。已知两直线平行。由平行线得到角的关系是平行线的性质,包括:①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③两直线平行,同旁内角互补。

1.经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补。

3.两条直线平行于第三条直线时,两条直线平行。

4.平行线分三角形对应边成比例。

这几条命题依赖于欧氏几何的第五公设(平行公理),所以在非欧几何中不成立。

折叠 平行线的判定

1、同位角相等,两直线平行。

2、内错角相等,两直线平行。

3、同旁内角互补,两直线平行。

4、在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行。

5、在同一平面内,平行于同一直线的两条直线互相平行。

6、同一平面内永不相交的两直线互相平行。

在欧几里得几何原本的体系中,这几条判定法则不依赖于第五公设(平行公理),所以在非欧几何中也成立。在初中阶段,用这几点即可。平行线的性质平行线的性质

折叠 编辑本段 平行公理

平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。

平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。平行公理的推论体现了平行线的传递性,它可以作为以后推理的依据。

在欧几里得的几何原本中,第五公设(又称为平行公理)是关于平行线的性质。它的陈述是:

"在平面内,如果两条直线被第三条直线所截,一侧的同旁内角之和大于两个直角,那么最初的两条直线相交于这对同旁内角的另一侧。"

这条公理的陈述过于冗长。在1795年,苏格兰数学家Playfair提出了以下以下公理作为平行公理的代替,在被人们广泛的使用。

Playfair's Postulate:在同一平面内,过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线互相平行。

平行公理的推论:(平行线的传递性) 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。可以简称为:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

非欧几何

参见:非欧几何

由于平行公理陈述冗长,并且不像欧氏几何中的其他公理那么显而易见,人们觉得它更像一个定理,可以从其他公理出发来证明。经历了许多错误的证明,数学家们意识到这确实应作为一条公理。

更重要的是,在19世纪,数学家高斯,鲍耶罗巴切夫斯基等发现,如果以平行公理的否定形式来代替平行公理,那么可以演绎出一套和欧氏几何完全不同,却没有内在矛盾的公理体系。这个大胆的观点最初很难被人接受,但在逻辑上却没有任何问题。这个观点成为人们对空间和几何的认识的重大转折点,包括爱因斯坦的广义相对论,本质上都受到了这种观点的影响。

折叠 编辑本段 平行线定义的拓展

在高等数学中的平行线的定义是相交于无限远的两条直线为平行线,因为理论上是没有绝对的平行的。

在欧氏几何中,在两条平行线中做一条直线AB,以直线AB为半径以逆时针方向做圆,然后以直线AB为半径以顺时针方向再做一个圆,从两个圆的交点做垂线CD垂直于直线AB,若CD与AB的角的角度是90度,则说明两条平行线不会相交。

但欧几里得不敢思考当两条平行线无限长时的情况.....

于是包括罗素、黎曼在内的科学家假设当两条平行线无限长时,他们会在无穷远处相交。后来,非欧几何和黎曼空间就诞生了,该成果给了爱因斯坦很大的启发.

平行线公理就是区分欧氏几何与非欧几何的一个重要区别。

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