2022-05-14 00:13:37

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在数学中,函数 f图形(或图象)指的是所有有序数对(x, f(x))组成的集合[1]。具体而言,如果x为实数,则函数图形平面直角坐标系上呈现为一条曲线。如果函数自变量x为两个实数组成的有序对(x1, x2),则图形就是所有三重序(x1, x2, f(x1, x2))组成的集合,呈现为曲面(参见三维计算机图形)。

基本信息

  • 中文名称

    函数图象

  • 外文名称

    Functions images

  • 图象性质

    满足等式:y=kx+b

  • 应用

    水量g是抽水时间t的一次函数

折叠 编辑本段 几何与方程论

Functions images(函数的图象)

点集{(x,y)丨y=x}叫做函数y=x的图象

一次函数

自变量x和因变量y有如下关系:

y=kx+b(k,b为常数,k≠0)

则称y是x的一次函数。

特别地,当b=0时,y是x的正比例函数

若两个变量x,y间的关系式可以表示为y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。

折叠 图象性质

1. 作法与图形:通过如下3个步骤(1)算出该函数图象与Y轴和X轴的交点的坐标(2)描点;(3)连线,可以作出一次函数的图象--一条直线。

2. 性质:在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。

3. k,b与函数图象所在象限。

当k>0时,直线必通过一、三象限,从左往右,y随x的增大而增大;

当k<0时,直线必通过二、四象限,从左往右,y随x的增大而减小;

当b>0时,直线必通过一、二象限;当b<0时,直线必通过三、四象限。

特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图象。

这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四 象限。

4. (1) 函数关系中自变量可取值的集合叫做函数的定义域。求用解析式表示的函数的定义域,就是求使函数各个组成部分有意义的集合的交集,对实际问题中函数关系定义域,还需要考虑实际问题的条件。 (2)值域与定义域内的所有x值对应的函数值形成的集合,叫做函数的值域。(3)单调性定义:对于给定区间上的函数f(x)。

折叠 例题

已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。如果b=0,则函数解析式为y=kx,所以说正比例函数是特殊的一次函数。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程: y1=kx1+b① 和y2=kx2+b②。 (3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 (5)在y=kx+b中,使x,y分别等于0,可求出两个坐标系必定经过的两点(0,b)和(-b/k,0)。

折叠 编辑本段 应用

1.当时间t一定,距离S是速度v的一次函数。S=vt。

2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

折叠 编辑本段 分类

一次函数

正比例函数

折叠 反比例函数

形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数,叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的图象为双曲线。

如图,上面给出了x分别为正和负(2和-2), k=4 时的函数图象。

折叠 双钩函数

函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)叫做双钩函数。

该函数是奇函数,图象关于原点对称。位于第一、三象限。

当x>0时,由基本不等式可得:y ≥2√ab

当且仅当ax=b/x,即x=√(b/a)时取等号。

故其顶点坐标为(√(b/a),2√ab),图象在(0,√(b/a))上是单调递减的,在(√(b/a),+∝)上是单调递增

同理:当x<0时,由基本不等式可得:y≤-2√ab

当且仅当ax=b/x,即x=-√(b/a)时取等号。

故其顶点坐标为(-√(b/a),-2√ab),

图象在(-∝,-√(b/a))上是单调递增,

在(-√(b/a),0)上是单调递减的。

当a<0,b<0 时可转化为a>0,b>0的情况

通常,作图时,x看做0。代入得y,也就是纵轴坐标(0,y)

有时,通过平移,把形如y=(ax+b)/(cx+d)也看成反比例函数。

特殊位置关系

平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)

折叠 二次函数

一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c

(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

表达式

一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)]

交点式:y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A(x₁ ,0)和 B(x₂,0)的抛物线]

注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a

图象

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图象,

可以看出,二次函数的图象是一条抛物线。

性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )

当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

|a|越大,则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0,c)

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b方-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b方-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b方-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

位置关系

二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:

解析式 顶点坐标 对 称 轴

y=ax^2 (0,0) x=0

y=a(x-h)^2 (h,0) x=h

y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h

y=ax^2+bx+c (-b/2a,[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a

当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,

当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.

当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;

当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小.

4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:

(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);

(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|

当△=0.图象与x轴只有一个交点;

当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.

5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.

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