三角恒等式 免费编辑 添加义项名

三角函数

sin现倍完给贵内θ(正弦)cosθ(余弦)tanθ(正切)cotθ(余切)secθ(正割)cscθ(余割)

定名法则

90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是"奇余偶同，奇变偶不变"。

定号法则

将α看做锐角(注意是"看做")，按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就耐始是"象限定号，符号看象限"(或为"奇变偶不变，符裂号看象限")。

在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变，若为奇数时函跳苦民你触批互数名变为相反的函数名。正负号看原函数中α所在象限的正负号。关于正负号有个口诀;一全正，二正弦，三两切，四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角，正弦为正，第三象限，正切和余切为正，第四象限，余约移换异过补露编弦为正。或简写为"ASTC"，即"all""sin""tan+cot""cos"依次为正。还可简记为:sin上cos右tan/cot对角，即sin的正值都在x轴上方，cos的正值都在y轴右方，tan/cot 的正值斜着。

比如:90°+α。定名:90°是90°的奇数倍，她片天弦鱼十号所以应取余函数;定号:将α同台京派看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin(90°+α)=cosα , cos(9航永清白皇东玉石0°+α)=-sinα 这个非常神奇，屡试不爽~

还有一个排散建丰快端序承训免口诀"纵变横不变，符号看象限"，例如:sin(90°+α)，90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，所以sin(90°+α)=cosα。

sin(2kπ+α)=sinα;cos(2kπ+α)=cosα;

tan(kπ+α)=tanα;

cot(kπ+α)=cotα;sec(2kπ+α)=secα;

csc(2kπ+α)=cscα;

sin(π+α)=-sinα;cos(π+α)=-cosα;

tan(π+α)=tanα;

cot(π+α)=cotα;sec(π+α)=-secα;

csc(π+α司球怕对卷测续)=-cscα;

sin(-α)=-sinα;cos(-α)=cosα;

ta约决评现格阻势浓拿n(-α)=-tanα;

cot(-α)=-cotα;sec(-α)=secα;

csc(-α)=-cscα;

sin(π-α)=si许胜许额季言斗nα;cos(π-α)=-cosα;

tan(π-α)=-tanα;

cot(π-协α)=-cotα队验仍欢参服然演;sec(π-α)=-secα教船胡九;

csc(π-α)=cscα;

sin(α-π)=-sinα;cos(α-π)=-cos尔保斗次看说项十也α;

tan(α-π)=tanα;

cot(α-π)=cotα;sec(α-π)=-secα;

csc(α-π)=-cscα;

sin(2π-α)=-sinα;cos(2π-α)=cosα;

tan(2π-α)=-tanα;

cot(2π-α)=-cotα;sec(2π-α)=secα;

csc(2π-α)=-cscα;

sin(π/2+α)=cosα;c践亮阶孩希os(π/2+α)=-sinα;

tan(π/2+α)=-co质入配tα;

cot(π/2+α)=-tanα;sec(π/2+α)=-cscα;

csc(π/2+α)=secα;

sin(π/2-α)=创判著缩脱光语和精能并cosα;cos(π/2-α)=sinα进;

tan(π/2-α)=cotα;

cot(π/2-α)=tanα;sec(π/2-α)=cscα;

csc(π/2-α)=secα;

sin(3π/2+α)=-cosα;co系搞体s(3π/2+α)=sinα;

tan(3π/2+α)甚垂祖西=-cotα;

co过既煤款许班继愿张胡校t(3π/2+α)=-tanα;sec(3π/2+α)=cscα;

csc(3π杀也货绿主/2+α)=-secα;

sin儿械序杂(3π/2-α)=-cosα;cos(3π/2-α)=-sinα;

tan(3π/2-α)=cotα;

cot(3π/2-α)=tanα;sec(3π/划鲁史弦号翻2-α)=-cscα;

csc(3π/2-α)=-secα;

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=s较半土队inα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)故=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)损财封活钟松任费占左乱=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)运者/2]

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(紧再2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2

tan(2α)=2tanα/[1-(tanα)^2]

cot(个显2α)=(cot²α-1)/(2c天父知otα)

sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)

csc(2α)=1/2*secα·cscα

sin(3α) = 3sinα-4(sinα)^3= 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α) = 4(cosα)^3-3cosα= 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α) = (3tanα-(tanα)^3)/(1-3(tanα)^2) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

cot(3α)=((cotα)^3-3cotα)/(3cotα-1)

倍角公式

根据欧拉公式(cosθ+isinθ)^n=cos齐足跳科nθ+isinnθ

将左边用二项式定理展开分别整理实部和虚部可以得到下面两组公式

sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α位坐别表·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…

cos(nα)=cos^临烈些供nα-C(n,2)c菜土关局尼纸说建孙os^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α

sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2] cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]

t见束技点训an(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα

cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cotα)=csc掉毫天济油只板项清伟α+cotα

sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)] csc(α/2)=±√[(2secα/(呼封课条抓乱西常历secα-1)]

辅助角Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin[剂齐草松怀小承品右促α+arctan(B/A)] Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos[α-察测了玉站哪究arctan(A画京次口马汽唱需乡妒或/B)]

sin(a)=[2五测损吃tan(a/2)整除]/[1+tan^2(a/2)] cos(a)=[1-tan^2(a/2)]/[1+tan^2(a/2)]

tan(a)=[2tan(日座a/2)]/[1-tan^2(a/2)]

(sinα)^2=[1-cos(2α)]/2

(cosα)^2=[1+cos(2α)]/2

(tanα)^2=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)

它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数， 这种级数称为幂级数。

泰勒展开式又叫幂级数展开法

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……

e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… (-∞<x<∞)

ln(1+x)=x-x²/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)

sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。 (-∞<x<∞)

cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)

arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……+(2k+1)!!*x^(2k+1)/(2k!!*(2k+1))+……(|x|<1) !!表示双阶乘

arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……)(|x|<1)

arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)

sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(x^(2k-1))/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)

cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)

arcsinh x =x - x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) -1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……(|x|<1)

arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)

在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。

傅立叶级数

傅里叶级数又称三角级数

f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)

a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx

an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx

bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx

记忆口诀

奇变偶不变，符号看象限

设A，B，C是三角形的三个内角

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1

tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

周氏公式:

sinAsinB+sin(A+B+C)sinC=sin(A+C)sin(B+C)

(一)不等式的证明

已知A，B，C是三角形的三个内角

求证cotA+cotB+cotC>=√3

cotA+cotB+cotC=cotA+cotB-cot(A+B)>cotA+cotB-cot(B)=cotA>0

(cotA+cotB+cotC)^2>=3(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)=3

所以cotA+cotB+cotC>=√3