2016-10-09 15:11:34
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定理 - 数学术语 免费编辑 修改义项名

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其他数学相关|命题
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定理(英语:Theorem)是经过受逻辑限制的证明为的陈述。一般来说,在数学中,只有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。

基本信息

  • 中文名

    定理

  • 外文名

    Theorem

  • 术语所属

    数学术语

  • 结    构

    题设+结论

  • 衍生定义

    逆定理

折叠 编辑本段 大意

在数学里,定理是指在既有命题的基础上证明出来的命题,这些既有命题可以是别的定理,或者广为接受的陈述,比如公理。数学定理的证明即是在形式系统下就该定理命题而作的一个推论过程。定理的证明通常被诠释为对其真实性的验证。由此可见,定理的概念基本上是演绎的,有别于其他需要用实验证据来支持的科学理论

有许多数学定理都是条件句,此时定理的证明是从假设出发,推出结论。因为证明跟真实性往往被连系起来,所以结论也常被视作是假设的必然结果。也就是说,假设成立的话,结论也成立,毋需加上额外条件。但要指出的是,条件句式在不同的形式系统下可以有着不同的诠释,视乎如何对当中的推理规则和蕴含符号作解读。

虽然定理可在命题逻辑的框架下完全用符号写成,但它们还是多数用自然语言(例如汉语)表达。证明亦然,也是以有逻辑和有组织的方式,用含意清晰的文字陈述出一个(非正式的)论证,使得读者能够理解并跟随整个证明的脉胳,以至最终对命题真确性的信服。如有必要的话,也可从原本文字重构出(正式的)符号形式的论证。文字形式的论证显然要比纯符号方便人们阅读-而事实上,数学家往往也偏好某些证明,它们除了显示命题为真之外,更是从某种角度解释了为何命题必须为真。有时候,一张图的勾勒就足以证明一个定理。因为定理及其证明是处于数学的核心,它们很大程度上也是数学之美的体现。定理有时被描述为"平凡" 、" 困难",或者" 深入" ,而更甚是" 美丽" 。这些主观判断不只因人而异,且随着时间推移也可能有变:就例如,由于证明被简化或变得更易懂,本来显得困难的原命题也变成平凡的了。另一方面,一个深邃的定理可以被简单地表述,但其证明可以揭示出数学领域间叫人惊奇,而又微妙的隐秘关系。费马最后定理正是如此的一个典型例子。

折叠 编辑本段 定义

1、通过真命题(公理或其他已被证明的定理)出发,经过受逻辑限制的演绎推导,证明为正确的结论的命题或公式,例如"平行四边形的对边相等"就是平面几何中的一个定理。

2、一般来说,在数学中,只有重要或有趣的陈述才叫定理,证明定理是数学的中心活动。相信为真但未被证明的数学叙述为猜想,当它被证明为真后便是定理。它是定理的来源,但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述,可以不经过证明成为猜想的过程,成为定理。

如上所述,定理需要某些逻辑框架,继而形成一套公理(公理系统)。同时,一个推理的过程,容许从公理中引出新定理和其他之前发现的定理。

在命题逻辑中,所有已证明的叙述都称为定理。

经过长期实践后公认为正确的命题叫做公理。用推理的方法判断为真的命题叫做定理。

折叠 编辑本段 结构

定理一般都有假定--即一些条件。然后它有结论--一个在条件下成立的数学叙述。通常写作「若条件,则结论」。用符号逻辑来写就是条件→结论。而当中的证明不视为定理的成分。

折叠 编辑本段 逆定理

若存在某叙述为A→B,其逆叙述就是B→A。叙述和逆叙述均成立的情况是A↔B。某叙述成立,不代表其原叙述一定成立。一旦我们这样错误地认为,那就是犯了肯定后件(affirming the consequent)的谬误,也称作倒因为果。其形式为:P→Q、Q;因此,P 。

若果叙述是定理,其成立的逆叙述就是逆定理

折叠 编辑本段 区分

定理是建立在公理和假设基础上,经过严格的推理和证明得到的,它能描述事物之间内在关系,定理具有内在的严密性,不能存在逻辑矛盾。比如:勾股定理,隐含公理是平直的欧几里得空间,假设是直角三角形。要明白定理的来源,首先我们必须了解公理,公理是不证自明的真理,是建立科学的基础,欧几里得《几何原本》就是建立在五条公理基础上严密的逻辑体系。公理和定理的区别主要在于:公理的正确性不需要用逻辑推理来证明,而定理的正确性需要逻辑推理来证明。在物理学中而定理是通过数学工具(如微积分)推理得来的,如动能定理;定律是由实验得出或验证的,如机械能守恒定律。

原理与定理极其近似但又稍有区别,原理只要求用自然语言表达(当然并不排除数学表达),定理则着重于反映原理的数学性。因此,在表达时一定要用数学式来阐明,如"帕斯卡原理":在密闭容器内,液体向各个方向传递的压强相等。

折叠 数学定理的性质

数学定理的性质是指一个定理的概念的属性。由于概念的划分和数学证明的功效,数学证明只是针对普遍概念和单独概念,而不是针对集合概念。

折叠 数学定理的概念性质

一,都是针对普遍概念和单独概念

1,单独概念和普遍概念(所有的定理都是单独概念和普遍概念)

a,单独概念反映独一无二的概念,单独概念的外延只有一个。例如,上海,孙中山,,,。它们反映的概念都是独一无二的。数学中的单独概念有“e”“Π”。“e是超越数”就是一个单独概念的命题。

b,普遍概念,普遍概念反映的是一个对象以上的概念,反映的是一个“类”,这个词项的内涵由为了包含在词项外延所必须具有的事物的性质组成。例如:工人,无论“石油工人”,“钢铁工人”,还是“中国工人”,“德国工人”,它们必然地具有“工人”的基本属性。数学中的普遍概念有例如“素数”,“合数”,等。“素数无穷多”就是一个普遍概念的命题。

数学证明对象全部都是普遍概念或者单独概念,当然所有的定理都是普遍概念和单独概念。

2,集合概念和非集合概念。

a,集合概念反映的是集合体,这个词项的外延由词项所应用的事物集合组成,例如“中国工人阶级”,集合体的每一个个体不是必然具备集合体的基本属性,例如某一个“中国工人”,不是必然具有“中国工人阶级”的基本属性。

集合概念的命题是不需要证明的,也是无法证明的,只能是归纳总结。

二,集合概念的结论必然都是特称判断

一个定理陈述一个给定类的所有数学元素不变的关系,适用于无限大的类,在任何时候都无区别成立。这个“类”就是针对普遍概念而不是集合概念。

特称判断为什么不能作为定理?因为特称判断暗含“假定存在”的非逻辑前提,数学证明是严禁使用非逻辑前提,在逻辑学也不允许引入非逻辑前提。

三,数学定理是普遍概念是因为它的层次

​第一个层次也就是最低层次,叫做数学事实,通常表述方式是:有些A是B.。例如“有些相差2的奇数是一对素数”。

第二个层次叫做数学概念:

1,是反映对象的本质属性的思维形式。人类在认识过程中,从感性认识上升到理性认识,把所感知的事物的共同本质特点抽象出来,加以概括,就成为概念。表达概念的语言形式是词或词组。

2,集合概念,是反映应用的事物,仍然属于数学事实,表述方式是:有些A是B.。

科学概念,特别是数学概念要求更加严格,至少必须具备三个条件:专一性,精确性,可以检验。例如:”孪生素数“就是一个数学概念。

第三个层次叫做数学定理,是对数学概念添加了某种属性,或者说,数学事实经过了严密论证以后,才能成为一个数学定理。表述方式就是:“一切A是B”。例如“素数对有无穷多”。

第四个层次叫做数学理论,把方法,公式,公理,定理,原理,组合成为一个体系叫做数学理论。例如“初等数论”,由埃氏筛法,公理(例如等量公理),定理(例如费马小定理),原理(例如抽屉原理,一一对应原理),公式等组成。

在逻辑证明中,第一个层次的数学事实无法突破到第三个层次,因为数学不承认数学事实,任何数学事实必须利用数学概念经过正确的演绎证明才能算定理。这是因为数学面对的是无穷,在证实过程中,即使有无穷多个事实a是b,还可能存在无穷个可能a不是b.。作为数学事实的集合概念是无法到达数学定理的普遍概念的。

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